Resolva o sistema
l x+5 y+z=2 2 x+y-2 z=1 x+7 y+2 z=3

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de três equações e três incógnitas
x + 5y + z = 2, 2x + y - 2z = 1, x + 7y + 2z = 3,
e pede a solução (x,y,z). O conteúdo aqui é eliminação de variáveis (método de Gauss).

Passo 2

Vamos eliminar x das equações 2 e 3 usando a equação 1. Multiplicamos a equação 1 por -2 e somamos à equação 2 para obter uma nova equação em y e z:
-2,(x+5y+z)&=-2cdot2implies -2x -10y -2z = -4, (2x + y -2z) + (-2x -10y -2z) &= 1 + (-4)implies -9y -4z = -3
Chame essa equação de ( 4):
(4) -9y -4z = -3
Agora subtraímos a equação 1 da equação 3 para eliminar x:
(x +7y +2z) - (x +5y +z) &= 3 -2implies 2y +z =1
Chame essa equação de ( 5):
(5) 2y + z = 1

Passo 3

Resolvendo o sistema em y,z:
a) Da equação (5), isolamos
z = 1 - 2y
b) Substituímos em (4):
-9y - 4(1 - 2y) = -3 ;Longrightarrow; -9y - 4 + 8y = -3 ;Longrightarrow; -y = 1 ;Longrightarrow; y = -1
c) Com y = -1, obtemos
z = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3

Passo 4

Finalmente, voltamos à equação 1 para achar x:
x + 5(-1) + 3 = 2 ;Longrightarrow; x -5 +3 = 2 ;Longrightarrow; x = 2 +2 = 4

Resposta

(x,y,z) = (4,,-1,,3)

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