rlr 3 x-7 y & =a & x+y & =b & Resp: x=3 e y=1 5 x+3 y & =5 a+2 b & a=2 e b=4 x+2 y & =a+b-1 &

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de quatro equações lineares em quatro incógnitas
Este é um problema de sistemas lineares com parâmetros. Vamos usar substituição: primeiro expressar em função de e depois impor as outras duas equações.

Passo 2

Da segunda equação do sistema temos
b = x + y,
e da primeira equação
a = 3x - 7y

Passo 3

Substituímos a e b na terceira equação
5x + 3y = 5a + 2b
ficando
5x + 3y = 5(3x - 7y) + 2(x + y) = 15x - 35y + 2x + 2y = 17x - 33y
Assim,
5x + 3y = 17x - 33y Longrightarrow -12x + 36y = 0 Longrightarrow x = 3y

Passo 4

Agora substituímos a, b e x=3y na quarta equação
x + 2y = a + b - 1
para obter
x + 2y = (3x - 7y) + (x + y) - 1 = 3x - 7y + x + y - 1 = 4x - 6y - 1
Logo
x + 2y = 4x - 6y - 1 Longrightarrow -3x + 8y = -1 Longrightarrow 3x - 8y = 1
Substituindo x=3y
3(3y) - 8y = 1 Longrightarrow 9y - 8y = 1 Longrightarrow y = 1,
e então
x = 3y = 3

Passo 5

Finalmente calculamos b e a pelas fórmulas de antes:
b = x + y = 3 + 1 = 4, a = 3x - 7y = 9 - 7 = 2

Resposta

x = 3,; y = 1,; a = 2,; b = 4.

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