Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
( ) Se a primeira linha de
for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto
.
( ) Se a primeira linha de
Passo 1
O enunciado fala sobre produto de matrizes: sejam
uma matriz
e
uma matriz
. A afirmação diz que, se a primeira linha de
é toda composta por zeros, então a primeira linha de
também é toda zero. Para resolver, vamos usar a definição de elemento do produto de matrizes.
Passo 2
Por definição de multiplicação de matrizes, o elemento da linha
e coluna
de
é
Em particular, para a primeira linha (
) temos
Passo 3
Se a primeira linha de
é toda zero, então
para todo
. Substituindo em cada soma:
Isso vale para todo
.
Passo 4
Como cada elemento
da primeira linha é zero, concluímos que toda a primeira linha de
é nula.
Resposta
A afirmativa é sempre verdadeira.