Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
( ) Se a primeira linha de A for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto A B.

Passo 1

O enunciado fala sobre produto de matrizes: sejam A uma matriz mtimes n e B uma matriz ntimes p. A afirmação diz que, se a primeira linha de A é toda composta por zeros, então a primeira linha de AB também é toda zero. Para resolver, vamos usar a definição de elemento do produto de matrizes.

Passo 2

Por definição de multiplicação de matrizes, o elemento da linha i e coluna j de AB é
(AB)ij ;=;sumk=1^n Aik,Bkj,
Em particular, para a primeira linha ( i=1) temos
(AB)1j ;=;sumk=1^n A1k,Bkj,

Passo 3

Se a primeira linha de A é toda zero, então A1k=0 para todo k=1,2,dots,n. Substituindo em cada soma:
(AB)1j =sumk=1^n 0cdot Bkj =0,
Isso vale para todo j=1,2,dots,p.

Passo 4

Como cada elemento (AB)1j da primeira linha é zero, concluímos que toda a primeira linha de AB é nula.

Resposta

A afirmativa é sempre verdadeira.

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