Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
( ) Se
é uma matriz quadrada e
tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente
tem uma coluna constituída somente de zeros.
( ) Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, para uma matriz quadrada
, a existência de uma coluna nula em
força a existência de uma coluna nula em
. O conteúdo é Álgebra Linear, usando multiplicação de matrizes e noções de núcleo (
).
Passo 2
Seja
a
-ésima coluna de
. Pela definição de produto de matrizes, a
-ésima coluna de
é
Logo,
implica
.
Passo 3
Ter
significa apenas que
. Mas isso não obriga
a menos que
, i.e.,
seja invertível. Se
for singular,
pode conter vetores não nulos.
Passo 4
Exibimos um contraexemplo. Seja
As colunas de
são
e
, ambas não nulas. Contudo
ou seja, todas as colunas de
são nulas, embora
não tenha coluna alguma nula.]
Resposta
A afirmação é (às vezes) falsa. Por exemplo, a matriz acima mostra que
pode ter coluna nula sem que
tenha.