Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
( ) Se A é uma matriz quadrada e A^2 tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente A tem uma coluna constituída somente de zeros.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para uma matriz quadrada A, a existência de uma coluna nula em A^2 força a existência de uma coluna nula em A. O conteúdo é Álgebra Linear, usando multiplicação de matrizes e noções de núcleo ( ker).

Passo 2

Seja Aj a j-ésima coluna de A. Pela definição de produto de matrizes, a j-ésima coluna de A^2 é
(A^2)j ;=; A,Aj
Logo, (A^2)j = 0 implica Ajinker(A).

Passo 3

Ter Ajinker(A) significa apenas que A,Aj=0. Mas isso não obriga Aj=0 a menos que ker(A)=0, i.e., A seja invertível. Se A for singular, ker(A) pode conter vetores não nulos.

Passo 4

Exibimos um contraexemplo. Seja
A = 1 & 1 [6pt] -1 & -1
As colunas de A são
1-1 e 1-1, ambas não nulas. Contudo
A^2 = 1 & 1 [4pt] -1 & -1 1 & 1 [4pt] -1 & -1 = 0 & 0 [4pt] 0 & 0,
ou seja, todas as colunas de A^2 são nulas, embora A não tenha coluna alguma nula.]

Resposta

A afirmação é (às vezes) falsa. Por exemplo, a matriz acima mostra que A^2 pode ter coluna nula sem que A tenha.

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