Seja
matriz em
. Mostre que:
As matrizes
e
são simétricas,
As matrizes
Passo 1
O enunciado pede para provar que as matrizes
,
e
são simétricas. Lembrando que uma matriz
é simétrica se e somente se
Para isso vamos usar as propriedades do transposto:
-
. -
. -
para . -
.
Passo 2
Provar que
é simétrica. Aplicando a propriedade do transposto de um produto:
Como
, concluímos que
é simétrica.
Passo 3
Provar que
é simétrica. Usando a distributividade do transposto sobre soma:
Logo
, o que mostra que
é simétrica.
Passo 4
Provar que
é simétrica. Usamos a propriedade do transposto com escalar:
Como o transposto retorna a própria matriz,
também é simétrica.
Resposta
As três matrizes são simétricas porque satisfazem
:
,
e
são todas simétricas.