Seja A matriz em Mn(R). Mostre que:
As matrizes A A^T, A+A^t e 12(A+A^T) são simétricas,

Passo 1

O enunciado pede para provar que as matrizes AA^T, A + A^T e tfrac12(A + A^T) são simétricas. Lembrando que uma matriz Min Mn(R) é simétrica se e somente se
M^T = M
Para isso vamos usar as propriedades do transposto:
  1. (AB)^T = B^T A^T.
  2. (X+Y)^T = X^T + Y^T.
  3. (lambda X)^T = lambda,X^T para lambdainR.
  4. (A^T)^T = A.

Passo 2

Provar que AA^T é simétrica. Aplicando a propriedade do transposto de um produto:
(AA^T)^T = (A^T)^T,A^T = A,A^T
Como (AA^T)^T = AA^T, concluímos que AA^T é simétrica.

Passo 3

Provar que A + A^T é simétrica. Usando a distributividade do transposto sobre soma:
(A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T
Logo (A + A^T)^T = A + A^T, o que mostra que A + A^T é simétrica.

Passo 4

Provar que tfrac12(A + A^T) é simétrica. Usamos a propriedade do transposto com escalar:
l(tfrac12(A + A^T)r)^T = tfrac12,(A + A^T)^T = tfrac12,(A + A^T)
Como o transposto retorna a própria matriz, tfrac12(A + A^T) também é simétrica.

Resposta

As três matrizes são simétricas porque satisfazem M^T=M:
AA^T, A + A^T e tfrac12(A + A^T) são todas simétricas.

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