Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se
e
é um subconjunto de
com 4 vetores então
é L.D.
( ) Se
Passo 1
O enunciado afirma que
é um espaço vetorial com
e que
tem 4 vetores. Pergunta-se se toda vez que tivermos mais vetores num conjunto do que a dimensão do espaço, esse conjunto será necessariamente linearmente dependente. Para responder isto usaremos o conceito de dimensão e a propriedade máxima de vetores linearmente independentes.
Passo 2
Em um espaço vetorial de dimensão
vale o seguinte teorema fundamental:
Seja um conjunto com mais de
vetores. Então
é linearmente dependente.
Justificativa esquemática: suponha, por absurdo, que fosse linearmente independente. Então poderíamos estender
a uma base de
, mas toda base de
tem exatamente
vetores, gerando contradição. Logo não existe conjunto independente com mais de
vetores.
Seja
Justificativa esquemática: suponha, por absurdo, que
Passo 3
Aplicando esse teorema com
, qualquer subconjunto de
com 4 vetores deve ser linearmente dependente.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.