Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se operatorname{dim} W=3 e \mathscr{B} é um subconjunto de W com 4 vetores então \mathscr{B} é L.D.

Passo 1

O enunciado afirma que W é um espaço vetorial com \dim W=3 e que \mathscr{B}\subset W tem 4 vetores. Pergunta-se se toda vez que tivermos mais vetores num conjunto do que a dimensão do espaço, esse conjunto será necessariamente linearmente dependente. Para responder isto usaremos o conceito de dimensão e a propriedade máxima de vetores linearmente independentes.

Passo 2

Em um espaço vetorial de dimensão n vale o seguinte teorema fundamental:
Seja X\subset W um conjunto com mais de n vetores. Então X é linearmente dependente.
Justificativa esquemática: suponha, por absurdo, que X=\{v_1,\dots,v_{n+1}\} fosse linearmente independente. Então poderíamos estender X a uma base de W, mas toda base de W tem exatamente n vetores, gerando contradição. Logo não existe conjunto independente com mais de n vetores.

Passo 3

Aplicando esse teorema com n=3, qualquer subconjunto de W com 4 vetores deve ser linearmente dependente.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

Exercícios relacionados