Você acredita que existe uma matriz A de tamanho 2 \times 2 tal que
A\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} b & d \\\ a & c \end{array}\right]
para todos valores de a, b, c e d ? Explique seu raciocínio.

Passo 1

O enunciado pede para saber se existe uma matriz \,A\in\mathbb{R}^{2\times2} tal que, para todo a,b,c,d\in\mathbb{R},
A\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b & d \\\ a & c\end{pmatrix}.
O conteúdo é Álgebra Linear, mais precisamente a ação de uma matriz sobre outra e a linearidade das colunas.

Passo 2

Seja M=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}. Escrevendo M em colunas,
M=\bigl[v_1\;\;v_2\bigr] \quad\text{com}\quad v_1=\begin{pmatrix}a\c\end{pmatrix},\; v_2=\begin{pmatrix}b\d\end{pmatrix}.
Então
A\,M=\bigl[A\,v_1\;\;A\,v_2\bigr].
Isso mostra que cada coluna de A\,M depende só da coluna correspondente de M.

Passo 3

Pelo enunciado queremos
A\,v_1 =\begin{pmatrix}b\a\end{pmatrix}, \quad A\,v_2 =\begin{pmatrix}d\c\end{pmatrix}.
Mas v_1 é \bigl(a,c\bigr) e v_2 é \bigl(b,d\bigr). Logo A\,v_1 não pode depender de b nem de d, apenas de a e c.

Passo 4

Suponha
A=\begin{pmatrix}x & y\z & w\end{pmatrix}.
Então
A\,v_1 =\begin{pmatrix}x\,a + y\,c\z\,a + w\,c\end{pmatrix}
deveria ser igual a \bigl(b,a\bigr)^T para todos a,b,c,d. Em particular a igualdade
x\,a + y\,c = b
é impossível, pois o lado esquerdo não depende de b, enquanto o direito não depende de a,c.

Passo 5

Isso já basta para concluir que não há matriz A que faça a troca desejada em todas as colunas simultaneamente, pois viola a linearidade em colunas independentes.

Resposta

Não existe tal matriz A de tamanho 2\times2.

Exercícios relacionados