Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
() operatornamedet(I+A)=1+det(A).

Passo 1

O enunciado pergunta se, para toda matriz quadrada A (de ordem n), vale sempre a igualdade
detl(I + Ar) ;=; 1 + det(A)
O conteúdo usado aqui é álgebra linear, em particular propriedades do determinante e fórmulas de expansão em termos das somas simétricas das autovalores ou, em caso específico, a fórmula conhecida em dimensão 2.

Passo 2

Em particular, para matrizes , se
então
e uma conta direta dá
Logo em geral
e não simplesmente a menos que .

Passo 3

Basta agora escolher um contra-exemplo simples. Seja
A=I2=1&00&1
Então
detl(I2+Ar) =det(2I2) =2^2=4,
enquanto
1+det(A)=1+1=2
Portanto det(I2+A)neq1+det(A) neste caso.

Resposta

A afirmação é às vezes falsa. Por exemplo, para A=I2 temos
det(I2+A)=4
e
1+det(A)=2,
logo não há igualdade.

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