Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
()
.
()
Passo 1
O enunciado pergunta se, para toda matriz quadrada
(de ordem
), vale sempre a igualdade
O conteúdo usado aqui é álgebra linear, em particular propriedades do determinante e fórmulas de expansão em termos das somas simétricas das autovalores ou, em caso específico, a fórmula conhecida em dimensão 2.
Passo 2
Em particular, para matrizes
, se
então
e uma conta direta dá
Logo em geral
e não simplesmente
a menos que
.
Passo 3
Basta agora escolher um contra-exemplo simples. Seja
Então
enquanto
Portanto
neste caso.
Resposta
A afirmação é às vezes falsa. Por exemplo, para
temos
e
,
logo não há igualdade.
e
logo não há igualdade.