Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( )Não existe matriz real quadrada A tal que operatornamedet(A A^T)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação
“Não existe matriz real quadrada A tal que det(AA^T)=-1
é sempre verdadeira ou às vezes falsa.
O conteúdo é propriedades de determinante de produto e de transposta de matrizes reais.

Passo 2

Lembramos que, para matrizes quadradas A e B de mesma ordem, vale a propriedade
det(AB)=det(A),det(B)

Passo 3

Aplicando essa propriedade a AA^T, obtemos
det(AA^T)=det(A),detl(A^Tr)

Passo 4

Também sabemos que, para qualquer matriz real A,
detl(A^Tr)=det(A)
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det(AA^T)=det(A),det(A)=(det(A))^2

Passo 5

Como (det(A))^2 é o quadrado de um número real, temos sempre
(det(A))^2>= 0
Portanto det(AA^T) nunca pode ser -1.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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