Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( )Não existe matriz real quadrada
tal que
.
( )Não existe matriz real quadrada
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação
“Não existe matriz real quadrada tal que
”
é sempre verdadeira ou às vezes falsa.
O conteúdo é propriedades de determinante de produto e de transposta de matrizes reais.
“Não existe matriz real quadrada
é sempre verdadeira ou às vezes falsa.
O conteúdo é propriedades de determinante de produto e de transposta de matrizes reais.
Passo 2
Lembramos que, para matrizes quadradas
e
de mesma ordem, vale a propriedade
Passo 3
Aplicando essa propriedade a
, obtemos
Passo 4
Também sabemos que, para qualquer matriz real
,
Logo
Passo 5
Como
é o quadrado de um número real, temos sempre
Portanto
nunca pode ser
.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.