Seja T(x, y)=(-y+2 x, 3 x,-2 x+y) e R(x, y, z)=(2 x-z, z-2 y). Encontre a transformação S=R circ T. Em seguida os vetores v, u in R 2, tais que S(v)=(1,-1) e S(u)=(0,1), quando existirem.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares: TcolonR^2toR^3 definida por
T(x,y)=(-y+2x,;3x,;-2x+y)
e RcolonR^3toR^2 definida por
R(x,y,z)=(2x-z,;z-2y)
Precisamos compor S=Rcirc T e depois achar v,uinR^2 tais que S(v)=(1,-1) e S(u)=(0,1). O conteúdo envolve composição de transformações lineares e solução de sistemas lineares.

Passo 2

Calcular S(x,y)=Rl(T(x,y)r). Como
T(x,y)=l(-y+2x,;3x,;-2x+yr),
temos
S(x,y) = Rl(T(x,y)r) = l(2(-y+2x)-(-2x+y),;(-2x+y)-2cdot3xr)
Simplificando cada componente:
2(-y+2x)-(-2x+y)=6x-3y, (-2x+y)-6x=-8x+y
Logo,
S(x,y)=(6x-3y,,-8x+y)

Passo 3

Para achar
Da segunda equação vem (y=8x-1]. Substituindo na primeira:

logo

Assim,

Passo 4

Para achar
Da segunda equação vem (y=8x+1]. Substituindo na primeira:

logo

Portanto,

Resposta

S(x,y)=(6x-3y,,-8x+y)
v=l(tfrac19,-tfrac19r)
u=l(-tfrac16,-tfrac13r)

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