Exercício 17. Determine a posição relativa entre a reta r e o plano pi nos seguintes casos:
r: X=(1,1,0)+lambda(0,1,1) e $\pi: x-y-z=2.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:;X=(1,1,0)+lambda,(0,1,1)
e o plano
pi:;x - y - z = 2
O conteúdo é posição relativa entre reta e plano. Para decidir se são paralelos, coincidentes ou se intersectam, vamos comparar o vetor diretor da reta com a normal do plano e, se não forem paralelos, achar o ponto de interseção.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor da reta e a normal do plano:
v=(0,1,1) é o vetor diretor de r e
n=(1,-1,-1) é a normal de pi.

Passo 3

Calculamos o produto escalar
vcdotn =0cdot1 + 1cdot(-1) + 1cdot(-1) =-2neq0
Como vcdotnneq0, a reta não é paralela ao plano e, portanto, intersecta-o num único ponto.

Passo 4

Vamos achar o valor de lambda em que o ponto genérico da reta
(x,y,z)=(1,1+lambda,lambda)
satisfaz a equação do plano:
1 - (1+lambda) - lambda = 2
Isso dá
1 -1 -lambda -lambda = 2 Longrightarrow -2lambda = 2 Longrightarrow lambda = -1
Substituindo lambda=-1 em (1,1+lambda,lambda), obtemos o ponto
P = (1,,1-1,,-1) = (1,0,-1)

Resposta

A reta r intersecta (é secante a) o plano pi no ponto (1,0,-1).

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