Sejam
A=(3,4,0); B=(3,6,0); C=(1,4,0); D=(1,6,0); E=(3,4,2); F=(3,6,2); G=(1,4,2); H=(1,6,2);
Calcule
o volume do paralelepípedo A B C D E F G H, usando vetores

Passo 1

Opa! O exercício pede pra calcular o volume do paralelepípedo com vértices
A=(3,4,0), B=(3,6,0), C=(1,4,0), D=(1,6,0), E=(3,4,2), F=(3,6,2), G=(1,4,2), H=(1,6,2)
usando vetores. Isso é Geometria Analítica, mais exatamente produto escalar triplo (produto misto). A gente vai precisar de:
  1. escolher três arestas que partem de um mesmo vértice;
  2. calcular o produto vetorial de dois delas;
  3. depois o produto escalar desse resultado com a terceira aresta;
  4. por fim, pegar o valor absoluto pra obter o volume.

Passo 2

Escolhendo o ponto A como base, definimos as arestas:
AB=B-A=(3,6,0)-(3,4,0)=(0,2,0),
AC=C-A=(1,4,0)-(3,4,0)=(-2,0,0),
AE=E-A=(3,4,2)-(3,4,0)=(0,0,2)

Passo 3

Lembra que, para vec u=(u1,u2,u3) e vec v=(v1,v2,v3),
vec utimes vec v =(u2v3-u3v2,;u3v1-u1v3,;u1v2-u2v1)
Aplicando em ACtimesAE:
ACtimesAE =(0cdot2 - 0cdot0,;0cdot0 - (-2)cdot2,;-2cdot0 - 0cdot0) =(0,4,0)

Passo 4

O produto escalar de vec u=(u1,u2,u3) e vec w=(w1,w2,w3) é
vec ucdotvec w = u1w1 + u2w2 + u3w3. Então o produto misto vale:
ABcdotl(ACtimesAEr) =(0,2,0)cdot(0,4,0) =0cdot0 + 2cdot4 + 0cdot0 =8

Passo 5

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse produto misto:
V = l|ABcdot(ACtimesAE)r| = |8| = 8

Resposta

O volume é 8.

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