Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
() operatornameSe det(A A^T)=4, então operatornamedet(A)=2.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação
Se det(AA^T)=4, então det(A)=2 ã
é sempre verdadeira ou às vezes falsa.
Para resolver, vamos usar as propriedades de determinante:
  1. det(AB)=det(A)det(B).
  2. det(A^T)=det(A).

Passo 2

Aplicando essas propriedades em det(AA^T), temos
det(AA^T) =det(A),det(A^T) =det(A),det(A) =l(det(A)r)^2

Passo 3

Se det(AA^T)=4, então
l(det(A)r)^2=4 Longrightarrow det(A)=pm2
Logo não é obrigatório que det(A)=2; pode ser também det(A)=-2.

Passo 4

Contra-exemplo rápido: seja
A = -2
Então det(A)=-2 e
AA^T = (-2)cdot(-2) = 4,
logo det(AA^T)=4 mas det(A)neq2.

Resposta

Às vezes falsa.

Exercícios relacionados