Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
() operatornamedet(A+B)=det(A)+det(B).

Passo 1

O enunciado pergunta se para quaisquer matrizes quadradas A e B vale sempre a igualdade
det(A+B)=det(A)+det(B)
O conteúdo envolvido é a propriedade do determinante e precisamos usar o fato de que o determinante é multilinear em cada coluna (ou linha), mas não é uma forma linear na matriz como um todo.

Passo 2

Lembrando a definição, o determinante de uma matriz de ordem n é multilinear em cada coluna isoladamente: se você fixa todas as colunas, é linear na coluna que varia. Contudo, isso não implica que
det(A+B)=det(A)+det(B)
para matrizes A e B quaisquer, pois a soma A+B mistura todas as colunas de A com todas as de B ao mesmo tempo. Em geral, linearidade em cada argumento separadamente não garante linearidade conjunta.

Passo 3

Para mostrar que a igualdade falha em geral, basta um contra-exemplo em dimensão 2. Seja
A = 1 & 0[0.3em] 0 & 1, B = 1 & 0[0.3em] 0 & 1
Então
A+B = 2 & 0[0.3em] 0 & 2 Longrightarrow det(A+B)=2cdot 2=4,
enquanto
det(A)=1, det(B)=1 Longrightarrow det(A)+det(B)=2
Logo
det(A+B)=4neq 2=det(A)+det(B) ]

Resposta

A afirmação é às vezes falsa; em geral não vale det(A+B)=det(A)+det(B).

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