Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
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.
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Passo 1
O enunciado pergunta se para quaisquer matrizes quadradas
e
vale sempre a igualdade
O conteúdo envolvido é a propriedade do determinante e precisamos usar o fato de que o determinante é multilinear em cada coluna (ou linha), mas não é uma forma linear na matriz como um todo.
Passo 2
Lembrando a definição, o determinante de uma matriz de ordem
é multilinear em cada coluna isoladamente: se você fixa todas as colunas, é linear na coluna que varia. Contudo, isso não implica que
para matrizes
e
quaisquer, pois a soma
mistura todas as colunas de
com todas as de
ao mesmo tempo. Em geral, linearidade em cada argumento separadamente não garante linearidade conjunta.
Passo 3
Para mostrar que a igualdade falha em geral, basta um contra-exemplo em dimensão
. Seja
Então
enquanto
Logo
Resposta
A afirmação é às vezes falsa; em geral não vale
.