Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
() operatornameSe det(A) neq 0 e A B=0, então B é inversível.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a afirmação: “Se det(A)neq0 e A,B=0, então B é inversível.” O conteúdo envolvido é invertibilidade de matrizes, determinante e produto de matrizes. Vamos verificar se a conclusão “ B é inversível” segue logicamente ou se existe contra-exemplo.

Passo 2

Como det(A)neq0, sabemos que A é inversível. Logo existe A^-1 tal que
A^-1A = I
Multiplicando A,B=0 à esquerda por A^-1, obtemos
B = A^-1(A,B) = A^-10 = 0

Passo 3

A matriz 0 (zero) tem det(0)=0, portanto não é inversível. Isso mostra que, sob as hipóteses, B é necessariamente a matriz zero, logo singular.

Passo 4

Um contra-exemplo concreto: seja qualquer matriz invertível A (por exemplo A=I) e B=0. Aí A,B=0 e det(A)=1neq0, mas B não é inversível.

Resposta

A afirmação é às vezes falsa.

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