Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
()
e
, então
é inversível.
()
Passo 1
O enunciado pergunta sobre a afirmação: “Se
e
, então
é inversível.” O conteúdo envolvido é invertibilidade de matrizes, determinante e produto de matrizes. Vamos verificar se a conclusão “
é inversível” segue logicamente ou se existe contra-exemplo.
Passo 2
Como
, sabemos que
é inversível. Logo existe
tal que
Multiplicando
à esquerda por
, obtemos
Passo 3
A matriz
(zero) tem
, portanto não é inversível. Isso mostra que, sob as hipóteses,
é necessariamente a matriz zero, logo singular.
Passo 4
Um contra-exemplo concreto: seja qualquer matriz invertível
(por exemplo
) e
. Aí
e
, mas
não é inversível.
Resposta
A afirmação é às vezes falsa.