Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
(A+B)^T=B^T+A^T

Passo 1

O enunciado pede para decidir se
(A+B)^T = B^T + A^T
vale para matrizes A e B. O conteúdo aqui é a propriedade de linearidade (adição) da operação de transposta.

Passo 2

Pela definição de transposta, o elemento (i,j) de (A+B)^T é
l((A+B)^Tr)ij = (A+B)ji
Como soma de matrizes é definida componente a componente, temos
(A+B)ji = Aji + Bji
Logo,
l((A+B)^Tr)ij = Aji + Bji

Passo 3

Reconhecendo que Aji = A^Tij e Bji = B^Tij, obtemos
l((A+B)^Tr)ij = A^Tij + B^Tij
Como a soma de escalares é comutativa, temos
A^Tij + B^Tij = B^Tij + A^Tij,
o que mostra que cada componente de (A+B)^T coincide com a de l(B^T+A^Tr). Dessa forma,
(A+B)^T = B^T + A^T

Resposta

Verdadeira.

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