Encontre uma matriz A de tamanho 3 times 3 de modo que
A(l x y z )=(c x+y x-y 0 )
para todas as escolhas de x, y e z. É possível exibir outra matriz A que satisfaça essa mesma igualdade?

Passo 1

O enunciado pede uma matriz que realize a transformação linear
para todo .
Conteúdo: usar a representação matricial de uma transformação linear na base canônica e a propriedade de linearidade.

Passo 2

Pela linearidade, sejam
e1=(1,0,0)^T, e2=(0,1,0)^T, e3=(0,0,1)^T
Então
A(x,y,z)^T = x,A e1 + y,A e2 + z,A e3
Logo basta achar A e1, A e2 e A e3.

Passo 3

Calculemos:
A e1 = A(1,0,0)^T = (1+0,,1-0,,0)^T = (1,1,0)^T,
A e2 = A(0,1,0)^T = (0+1,,0-1,,0)^T = (1,-1,0)^T,
A e3 = A(0,0,1)^T = (0+0,,0-0,,0)^T = (0,0,0)^T

Passo 4

A matriz A na base canônica tem como colunas exatamente os vetores A e1, A e2 e A e3. Assim
A = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0
Como a ação de A em cada vetor da base canônica está fixada pela condição do enunciado, não há outra matriz diferente desta que satisfaça a mesma igualdade.

Resposta

A = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 ,
e essa é única.

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