Encontre os valores de m e n para que a matriz B seja a inversa de A.
A=(ll2 & 5 3 & 8) e B=(cc8 & m n & 2)

Passo 1

O enunciado pede os valores de m e n tais que
B = 8 & m[6pt]n & 2
seja a inversa de
A = 2 & 5[3pt]3 & 8
Por definição, B é inversa de A se e somente se
AB = I2,
onde I2 é a matriz identidade 2times 2.
]

Passo 2

Vamos calcular o produto
AB = 2 & 5[3pt]3 & 8 8 & m[3pt]n & 2 = 2cdot 8 +5,n & 2,m +5cdot 2[6pt] 3cdot 8 +8,n & 3,m +8cdot 2
]

Passo 3

Igualando AB à identidade, ou seja,
AB = 1 & 0[3pt]0 & 1,
obtemos o sistema
16 + 5,n = 1,[3pt] 2,m + 10 = 0,[3pt] 24 + 8,n = 0,[3pt] 3,m + 16 = 1
Das duas primeiras equações resolvemos diretamente:
16 + 5,n = 1 implies 5,n = -15 implies n = -3,
2,m + 10 = 0 implies 2,m = -10 implies m = -5
]

Passo 4

Para garantir que não houve contradição, conferimos as demais equações:
24 + 8(-3) = 24 - 24 = 0, 3(-5) + 16 = -15 + 16 = 1,
que batem com a identidade.

Resposta

m = -5, n = -3.

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