Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas e justifique sua escolha usando resultados vistos em aula ou um contraexemplo.
Se ( a_n ) é uma sequência tal que 0 <= a_n <= 1 para todo n, então a_n é convergente.

Passo 1

Então, a gente tem uma afirmação que diz: “Se uma sequência satisfaz 0 <= a_n <= 1 para todo n, então essa sequência é convergente.” A matéria aqui envolve sequências limitadas e convergência. Vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e o que garante que ela converja ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência converge para um número L se, à medida que n aumenta, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de L. Em outras palavras, para qualquer , existe um número N tal que para todo , a distância entre a_n e L é menor que epsilon.

Passo 3

Agora, uma sequência ser limitada significa que existe um intervalo que contém todos os termos da sequência. No caso, 0 <= a_n <= 1 para todo n, então a sequência está limitada no intervalo . Mas atenção: ser limitada não garante que a sequência vai convergir.

Passo 4

Para ver se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos tentar encontrar um contraexemplo. Ou seja, uma sequência que está entre 0 e 1, mas que não converge.

Passo 5

Considere a sequência . Sabemos que oscila entre -1 e 1, então está entre 0 e 1. Portanto, 0 <= a_n <= 1 para todo n.

Passo 6

No entanto, a sequência não converge, porque ela não se aproxima de nenhum valor específico conforme n aumenta. Os valores de continuam a variar sem se estabilizar.

Resposta

Falsa. A afirmação não é verdadeira porque existem sequências limitadas no intervalo que não convergem, como o exemplo .

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