Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas e justifique sua escolha usando resultados vistos em aula ou um contraexemplo.
Se (
) é uma sequência tal que
para todo
, então
é convergente.
Se (
Passo 1
Então, a gente tem uma afirmação que diz: “Se uma sequência
satisfaz
para todo
, então essa sequência é convergente.” A matéria aqui envolve sequências limitadas e convergência. Vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e o que garante que ela converja ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência
converge para um número
se, à medida que
aumenta, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de
. Em outras palavras, para qualquer
, existe um número
tal que para todo
, a distância entre
e
é menor que
.
Passo 3
Agora, uma sequência ser limitada significa que existe um intervalo que contém todos os termos da sequência. No caso,
para todo
, então a sequência está limitada no intervalo
. Mas atenção: ser limitada não garante que a sequência vai convergir.
Passo 4
Para ver se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos tentar encontrar um contraexemplo. Ou seja, uma sequência que está entre 0 e 1, mas que não converge.
Passo 5
Considere a sequência
. Sabemos que
oscila entre -1 e 1, então
está entre 0 e 1. Portanto,
para todo
.
Passo 6
No entanto, a sequência
não converge, porque ela não se aproxima de nenhum valor específico conforme
aumenta. Os valores de
continuam a variar sem se estabilizar.
Resposta
Falsa. A afirmação não é verdadeira porque existem sequências limitadas no intervalo
que não convergem, como o exemplo
.