Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. O exercício nos pede para determinar o limite da função quando
se aproxima de
. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisaremos usar propriedades de funções exponenciais, séries de Taylor para aproximações de funções próximas a zero, e entender como os limites funcionam quando nos aproximamos de um ponto específico.
Passo 2
Vamos simplificar o numerador da expressão. Temos
. Podemos fatorar o
:
Agora, a expressão original fica:
Passo 3
Para simplificar ainda mais, observamos que quando
e
são próximos de zero, podemos usar a aproximação da série de Taylor para
e . Sabemos que:
e
Passo 4
Substituindo essas aproximações na nossa expressão:
Simplificando, temos:
Passo 5
Como simplificamos a expressão e obtivemos um valor constante independente de
e
, podemos concluir que o limite existe e é igual a 2.
Resposta
O limite existe e é igual a
.