Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,0) x e^2 y-xy sen(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. O exercício nos pede para determinar o limite da função quando x e^2 y-xy sen(x) se aproxima de (x, y). Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisaremos usar propriedades de funções exponenciais, séries de Taylor para aproximações de funções próximas a zero, e entender como os limites funcionam quando nos aproximamos de um ponto específico.

Passo 2

Vamos simplificar o numerador da expressão. Temos x e^2y - x. Podemos fatorar o x:
x (e^2y - 1)
Agora, a expressão original fica:

Passo 3

Para simplificar ainda mais, observamos que quando y e x são próximos de zero, podemos usar a aproximação da série de Taylor para e^2y e . Sabemos que:
sen(x)
e

Passo 4

Substituindo essas aproximações na nossa expressão:
x ( (1 + 2y) - 1 )y x = x (2y)y x = 2xyxy
Simplificando, temos:
2xyxy = 2

Passo 5

Como simplificamos a expressão e obtivemos um valor constante independente de x e y, podemos concluir que o limite existe e é igual a 2.

Resposta

O limite existe e é igual a 2.

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