Nos problemas de 19 a 24, expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
19.
19.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma equação diferencial de quarta ordem:
com condições iniciais todas iguais a zero:
O conteúdo que a gente vai precisar é de equações diferenciais lineares, transformadas de Laplace e convolução. Básicamente, vamos usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma forma mais fácil de resolver e, depois, usar a propriedade da convolução para expressar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de
é
. Como todas as condições iniciais são zero, fica mais simples.
Aplicando a transformada:
Substituindo:
Como todas as condições iniciais são zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
:
A gente quer expressar
em função de uma convolução. Para isso, vamos decompor a fração utilizando frações parciais.
Passo 4
Fatorando o denominador
:
E mais:
Então:
Agora, podemos escrever
como:
Passo 5
A solução no domínio do tempo será a convolução das inversas das transformadas parciais. Ou seja:
onde
é a resposta ao impulso do sistema, dada por:
Passo 6
Vamos calcular
. Primeiro, fazemos a decomposição em frações parciais de:
Sem entrar em detalhes de cálculo das constantes, a inversa de Laplace resultará em uma combinação de exponenciais e funções trigonométricas. Assim, teremos:
Resposta
Portanto, a solução
do problema de valor inicial é a convolução de
com
: