Nos problemas de 19 a 24, expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
19. y^(4) - y = g(t) ; y(0) = 0, y'(0) = 0, y''(0) = 0, y'''(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma equação diferencial de quarta ordem:
com condições iniciais todas iguais a zero:
O conteúdo que a gente vai precisar é de equações diferenciais lineares, transformadas de Laplace e convolução. Básicamente, vamos usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma forma mais fácil de resolver e, depois, usar a propriedade da convolução para expressar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de é . Como todas as condições iniciais são zero, fica mais simples.
Aplicando a transformada:
Substituindo:
Como todas as condições iniciais são zero:

Passo 3

Agora, vamos resolver para :
A gente quer expressar em função de uma convolução. Para isso, vamos decompor a fração utilizando frações parciais.

Passo 4

Fatorando o denominador :
E mais:
Então:
Agora, podemos escrever como:

Passo 5

A solução no domínio do tempo será a convolução das inversas das transformadas parciais. Ou seja:
onde é a resposta ao impulso do sistema, dada por:

Passo 6

Vamos calcular . Primeiro, fazemos a decomposição em frações parciais de:
Sem entrar em detalhes de cálculo das constantes, a inversa de Laplace resultará em uma combinação de exponenciais e funções trigonométricas. Assim, teremos:

Resposta

Portanto, a solução do problema de valor inicial é a convolução de com :

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