Seja (
) uma sequência tal que
. Prove que
converge absolutamente para todo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência
onde o limite
. Isso significa que, para grandes valores de
, o termo
se comporta aproximadamente como
. O exercício quer que a gente prove que a série
converge absolutamente para todo
.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência absoluta de séries e utilizar o Teste da Comparação. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a convergência absoluta. Dizemos que uma série
converge absolutamente se a série dos valores absolutos
também converge. No nosso caso, queremos mostrar que
converge.
Passo 3
Sabemos que o seno de qualquer ângulo está sempre entre -1 e 1. Ou seja, para qualquer
, temos:
Isso nos ajuda a simplificar a expressão:
Passo 4
Agora, como
, podemos dizer que para
suficientemente grande,
se comporta como
. Em termos matemáticos, existe um número natural
e uma constante
tal que para todo
,
Passo 5
Com isso, temos que para
,
Agora, consideramos a série
.
Passo 6
Sabemos que
é uma série p com
, e séries p com
convergem. Portanto,
também converge.
Passo 7
Aplicando o Teste da Comparação, como
e
converge, concluímos que
também converge.
Resposta
A série
converge absolutamente para todo
.