Seja ( an ) uma sequência tal que lim n infty n^2|an|=1. Prove que sumn=1^infty an sin (n pi x) converge absolutamente para todo x in R.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência onde o limite . Isso significa que, para grandes valores de , o termo se comporta aproximadamente como . O exercício quer que a gente prove que a série converge absolutamente para todo .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência absoluta de séries e utilizar o Teste da Comparação. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a convergência absoluta. Dizemos que uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. No nosso caso, queremos mostrar que converge.

Passo 3

Sabemos que o seno de qualquer ângulo está sempre entre -1 e 1. Ou seja, para qualquer |sin(n pi x)| <= 1 , temos:
|an sin(n pi x)| <= |an|
Isso nos ajuda a simplificar a expressão:

Passo 4

Agora, como |an| <= Cn^2 , podemos dizer que para suficientemente grande, se comporta como . Em termos matemáticos, existe um número natural e uma constante tal que para todo ,

Passo 5

Com isso, temos que para |an sin(n pi x)| <= |an| <= Cn^2 ,
Agora, consideramos a série .

Passo 6

Sabemos que é uma série p com , e séries p com convergem. Portanto, também converge.

Passo 7

Aplicando o Teste da Comparação, como e converge, concluímos que também converge.

Resposta

A série converge absolutamente para todo .

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