Seja
uma sequência.
Generalize o resultado do item anterior: sejam
funções que preservam ordem tais que
. Prove que se
para todo
, então
.
Generalize o resultado do item anterior: sejam
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência
e várias funções
que mapeiam os números naturais (
) para eles mesmos de forma que preservam a ordem. Além disso, a união das imagens dessas funções cobre todos os números naturais, ou seja,
. O objetivo é provar que se o limite de
tende a
para todo
, então o limite de
também tende a
. Vamos precisar entender conceitos de limites e propriedades de sequências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, observe que cada função
preserva a ordem. Isso significa que se
, então
. Portanto, cada sequência
é uma subsequência da sequência original
que mantém a ordem dos termos.
Passo 3
Sabemos que
para todo
. Isso quer dizer que, independentemente de qual função
escolhemos, os termos correspondentes da sequência
estão se aproximando de
conforme
cresce.
Passo 4
Como a união das imagens das funções
cobre todos os números naturais, cada termo da sequência original
está incluído em pelo menos uma das subsequências
. Ou seja, para qualquer
, existe pelo menos um
tal que
para algum
.
Passo 5
Agora, para provar que
, vamos usar a definição de limite. Dado qualquer
, como cada subsequência
tende a
, existe um
tal que, para todo
, temos
. Definindo
, garantimos que para todo
e para todo
, a desigualdade
será válida.
Resposta
Portanto, concluímos que
.