Seja (an) uma sequência.
Generalize o resultado do item anterior: sejam f1, f2, ldots, fk: N N funções que preservam ordem tais que cupj=1^k fj(N)=N. Prove que se lim n infty afj(n)=L para todo 1 <= j <= k, então lim n infty an=L.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência (an) e várias funções f1, f2, ldots, fk que mapeiam os números naturais ( N) para eles mesmos de forma que preservam a ordem. Além disso, a união das imagens dessas funções cobre todos os números naturais, ou seja, cupj=1^k fj(N) = N. O objetivo é provar que se o limite de afj(n) tende a L para todo j, então o limite de an também tende a L. Vamos precisar entender conceitos de limites e propriedades de sequências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, observe que cada função fj preserva a ordem. Isso significa que se m < n, então fj(m) < fj(n). Portanto, cada sequência (afj(n)) é uma subsequência da sequência original (an) que mantém a ordem dos termos.

Passo 3

Sabemos que limn infty afj(n) = L para todo j = 1, 2, ldots, k. Isso quer dizer que, independentemente de qual função fj escolhemos, os termos correspondentes da sequência (an) estão se aproximando de L conforme n cresce.

Passo 4

Como a união das imagens das funções fj cobre todos os números naturais, cada termo da sequência original (an) está incluído em pelo menos uma das subsequências (afj(n)). Ou seja, para qualquer n in N, existe pelo menos um j tal que n = fj(m) para algum m.

Passo 5

Agora, para provar que limn infty an = L, vamos usar a definição de limite. Dado qualquer epsilon > 0, como cada subsequência (afj(n)) tende a L, existe um Nj tal que, para todo n > Nj, temos |afj(n) - L| < epsilon. Definindo N = maxN1, N2, ldots, Nk, garantimos que para todo j e para todo n > N, a desigualdade |afj(n) - L| < epsilon será válida.

Resposta

Portanto, concluímos que limn infty an = L.

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