Suponha que a temperatura em um ponto (x, y) do plano seja dada por T(x, y) 80/(1+x^2+2y^2), onde T é medida em graus Celsius e x, y em metros. Em que direção no ponto 1,1 a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de temperatura que depende das coordenadas e no plano. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente o cálculo de derivadas parciais e o conceito de gradiente. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , encontrar o gradiente no ponto e depois determinar a direção e a taxa máxima de aumento da temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais, podemos montar o gradiente de :

Passo 5

Vamos calcular o gradiente no ponto :

Passo 6

A direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente é na direção do gradiente. No nosso caso, o gradiente é . Para expressar isso como uma direção unitária, normalizamos o vetor:
çã

Passo 7

A taxa máxima de aumento da temperatura é a magnitude do gradiente no ponto :
á

Resposta

A temperatura aumenta mais rapidamente na direção e a taxa máxima de aumento é graus Celsius por metro.

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