Suponha que a temperatura em um ponto
do plano seja dada por
, onde
é medida em graus Celsius e
em metros. Em que direção no ponto
a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de temperatura
que depende das coordenadas
e
no plano. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente o cálculo de derivadas parciais e o conceito de gradiente. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, encontrar o gradiente no ponto
e depois determinar a direção e a taxa máxima de aumento da temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Com as derivadas parciais, podemos montar o gradiente de
:
Passo 5
Vamos calcular o gradiente no ponto
:
Passo 6
A direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente é na direção do gradiente. No nosso caso, o gradiente é
. Para expressar isso como uma direção unitária, normalizamos o vetor:
Passo 7
A taxa máxima de aumento da temperatura é a magnitude do gradiente no ponto
:
Resposta
A temperatura aumenta mais rapidamente na direção
e a taxa máxima de aumento é
graus Celsius por metro.