Determine se as séries a seguir são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty(-1)^n nn^2+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita para analisar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série é:
sumn=1^infty (-1)^n nn^2+2
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de teoria das séries, como o Teste da Convergência Absoluta e o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para os valores absolutos dos termos da série e vê se essa nova série converge.
Então, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n nn^2+2 | = sumn=1^infty nn^2+2

Passo 3

Agora, vamos analisar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty nn^2+2
Para verificar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Comparação. Observamos que, para todo nn^2+2 >= nn^2+n^2 = n2n^2 = 12n :
Sabemos que a série é a série harmônica, que diverge. Como nossa série dos valores absolutos é maior ou igual a uma série que diverge, pelo Teste da Comparação, a série dos valores absolutos também diverge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos diverge, ela não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se a série original com os sinais alternados é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.
Para aplicar esse teste, precisamos verificar duas coisas:
  1. Monotonicidade: Os termos limn to infty nn^2+2 = limn to infty 1n + 2n = 0 devem ser decrescentes.
  2. Limite: O limite dos termos deve ser zero.
Vamos verificar:
  1. Monotonicidade:
    • Calculando para valores maiores de , fica claro que à medida que aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, fazendo os termos diminuírem. Então, a sequência é decrescente.
  2. Limite:
    • Calculando o limite quando tende ao infinito:
Como ambas as condições são satisfeitas, pelo Teste da Série Alternada, a série original converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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