Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas e justifique sua escolha usando resultados vistos em aula ou um contraexemplo.
Se
converge, então
converge.
Se
Passo 1
Entendendo o Enunciado e os Conceitos Envolvidos
Vamos lá! O enunciado nos pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Se a série infinita
converge, então a série infinita
converge.
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e convergência. Precisamos verificar se a convergência da série com os termos
implica a convergência da série original com os termos
.
Passo 2
Analisando a Convergência Absoluta
Primeiro, vamos lembrar o que é convergência absoluta. Uma série
converge absolutamente se a série
também converge. E, quando isso acontece, a série original
também converge.
Então, se a série
converge, já sabemos que
converge. Vamos ver como isso se relaciona com a série dada
.
Passo 3
Relacionando as Séries
Sabemos que se
converge, os termos
devem tender a zero quando
tende ao infinito. Isso significa que
deve decair mais rapidamente que
.
Mas então, se
decai mais rapidamente que
, isso implica que
também converge. Por quê? Porque se multiplicarmos
por
e ainda assim a série converge, então
por si só deve ser menor que
elevado a algum poder maior que 1, garantindo a convergência da série.
Passo 4
Conclusão sobre a Convergência da Série Original
Como
converge, pela propriedade da convergência absoluta, concluímos que
também converge. Portanto, a afirmação inicial é verdadeira.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
converge, então
também converge.