Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas e justifique sua escolha usando resultados vistos em aula ou um contraexemplo.
Se sumn=1^infty n|an| converge, então sumn=1^infty an converge.

Passo 1

Entendendo o Enunciado e os Conceitos Envolvidos
Vamos lá! O enunciado nos pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Se a série infinita converge, então a série infinita converge.
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e convergência. Precisamos verificar se a convergência da série com os termos implica a convergência da série original com os termos .

Passo 2

Analisando a Convergência Absoluta
Primeiro, vamos lembrar o que é convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série também converge. E, quando isso acontece, a série original também converge.
Então, se a série converge, já sabemos que converge. Vamos ver como isso se relaciona com a série dada .

Passo 3

Relacionando as Séries
Sabemos que se converge, os termos devem tender a zero quando tende ao infinito. Isso significa que deve decair mais rapidamente que .
Mas então, se decai mais rapidamente que , isso implica que também converge. Por quê? Porque se multiplicarmos por e ainda assim a série converge, então por si só deve ser menor que elevado a algum poder maior que 1, garantindo a convergência da série.

Passo 4

Conclusão sobre a Convergência da Série Original
Como converge, pela propriedade da convergência absoluta, concluímos que também converge. Portanto, a afirmação inicial é verdadeira.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se converge, então também converge.

Exercícios relacionados