Seja sumn=1^infty an uma série tal que a sequência das somas parciais é dada por sn=3 n-2n+1.
Determine a soma da série.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a soma de uma série infinita , onde as somas parciais são dadas por . Aqui, estamos trabalhando com séries numéricas e precisamos entender como as somas parciais se comportam para encontrar a soma da série.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber o que significa a “soma da série”. A soma de uma série infinita é o limite das somas parciais conforme tende ao infinito. Ou seja, é.

Passo 3

Vamos calcular o limite de sn = 3n - 2n + 1 = 3 - 2n1 + 1n quando vai para o infinito. Para facilitar, dividimos numerador e denominador por :

Passo 4

Agora, vamos analisar cada termo conforme sn approx 3 - 01 + 0 = 31 = 3 cresce sem limites:
  • tende a 0, porque estamos dividindo 2 por um número cada vez maior.
  • também tende a 0 pelo mesmo motivo.
Então, simplificando:

Passo 5

Portanto, o limite de quando tende ao infinito é 3. Isso significa que a soma da série infinita é igual a 3.

Resposta

A soma da série é 3.

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