Seja
uma série tal que a sequência das somas parciais é dada por
.
Determine a soma da série.
Determine a soma da série.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a soma de uma série infinita
, onde as somas parciais são dadas por
. Aqui, estamos trabalhando com séries numéricas e precisamos entender como as somas parciais se comportam para encontrar a soma da série.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber o que significa a “soma da série”. A soma de uma série infinita é o limite das somas parciais conforme
tende ao infinito. Ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito. Para facilitar, dividimos numerador e denominador por
:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada termo conforme
cresce sem limites:
-
tende a 0, porque estamos dividindo 2 por um número cada vez maior. -
também tende a 0 pelo mesmo motivo.
Então, simplificando:
Passo 5
Portanto, o limite de
quando
tende ao infinito é 3. Isso significa que a soma da série infinita
é igual a 3.
Resposta
A soma da série é 3.