Encontre o raio R e o intervalo I de convergência da série.
(d) sumn=1^+infty 2^n(x-3)^nraizn+1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência sumn=1^+infty 2^n(x-3)^nraizn+1 e o intervalo de convergência da série:
Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, que nos ajuda a entender para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o Teste da Razão (também conhecido como Teste de D’Alembert) para encontrar o raio de convergência limn to infty | an+1an | < 1 . Esse teste nos diz que a série converge se:
Aqui, .

Passo 3

Vamos calcular a razão an+1an = 2^n+1(x-3)^n+1raiz(n+1)+1 times raizn+12^n(x-3)^n = 2 |x - 3| times raizn+1raizn+2 :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty 2 |x - 3| times raizn+1raizn+2 = 2 |x - 3| times 1 = 2 |x - 3| tende ao infinito:
Isso porque tende a 1 conforme cresce.

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
2 |x - 3| < 1
Vamos resolver essa inequação para encontrar .

Passo 6

Dividindo os dois lados por 2:
|x - 3| < 12
Isso significa que está a menos de unidades de distância de 0.

Passo 7

Resolvendo a desigualdade, temos:
- 12 < x - 3 < 12
Adicionando 3 em todos os lados:
3 - 12 < x < 3 + 12
Ou seja:
2.5 < x < 3.5

Passo 8

Então, o raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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