Encontre uma base para o autoespaço associado a cada autovalor dado abaixo:
Passo 1
O enunciado pede uma base para cada autoespaço de A nos autovalores lambda=-1 e lambda=7. Lembre que o autoespaço associado a lambda é o núcleo de A-lambda I, ou seja, as soluções de
(A-lambda I)x=0
Passo 2
Para calculamos
Precisamos resolver
cuja primeira equação dá .
Passo 3
Da equação 2x-3y=0 temos y=tfrac23x. Para evitar frações, escolhemos x=3, então y=2. Logo um vetor não-nulo no autoespaço é
v1 = 32,
e a base do autoespaço em lambda=-1 é v1.
Passo 4
Para calculamos
Resolvemos
cuja primeira equação dá ou .
Passo 5
De 2x+y=0 segue y=-2x. Tomando x=1 obtemos y=-2. Assim um vetor não-nulo no autoespaço é
v2 = 1-2,
e a base do autoespaço em lambda=7 é v2.
Resposta
Base para lambda=-1: l(3,2)r
Base para lambda=7: l(1,-2)r