Decida se as aplicações abaixo são automorfismos. Justifique a resposta.
f: Z4 Z4 dado por f(1)=2

Passo 1

O enunciado pede pra gente decidir se a aplicação f: Z4toZ4 dada por f(overline1)=overline2 é um automorfismo. O conteúdo é automorfismo de grupo cíclico e a gente vai precisar checar se f é homomorfismo e bijeção.

Passo 2

Como Z4 é um grupo cíclico gerado por overline1, toda aplicação definida pela imagem do gerador é homomorfismo. De fato, para kin0,1,2,3 vale
f(overline k)=k,f(overline1)=k,overline2=2kpmod4, o que preserva soma, logo é homomorfismo.

Passo 3

Pra ser automorfismo, f precisa ser bijetora. A gente verifica o núcleo pra checar injetividade: queremos f(overline k)=overline0, ou seja
2k=overline0pmod4
Isso acontece quando 2kequiv0pmod4, ou seja kequiv0 ou kequiv2. Logo
overline0
é maior que , então f não é injetora.

Passo 4

Como f não é injetora, também não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora. Com isso, f falha em ser um automorfismo.

Passo 5

Conclusão: f é homomorfismo mas não é bijeção, logo não é automorfismo de Z4.

Resposta

A aplicação não é automorfismo, pois o núcleo é overline0,overline2, ou seja, f não é injetora (e, portanto, nem bijetora).

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