Decida se as aplicações abaixo são automorfismos. Justifique a resposta. dado por
Passo 1
O enunciado pede pra gente decidir se a aplicação f: dada por é um automorfismo. O conteúdo é automorfismo de grupo cíclico e a gente vai precisar checar se f é homomorfismo e bijeção.
Passo 2
Como é um grupo cíclico gerado por , toda aplicação definida pela imagem do gerador é homomorfismo. De fato, para vale
o que preserva soma, logo é homomorfismo.
Passo 3
Pra ser automorfismo, f precisa ser bijetora. A gente verifica o núcleo pra checar injetividade: queremos f(overline k)=overline0, ou seja
2k=overline0pmod4
Isso acontece quando 2kequiv0pmod4, ou seja kequiv0 ou kequiv2. Logo overline0
é maior que , então f não é injetora.
Passo 4
Como f não é injetora, também não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora. Com isso, f falha em ser um automorfismo.
Passo 5
Conclusão: f é homomorfismo mas não é bijeção, logo não é automorfismo de Z4.
Resposta
A aplicação não é automorfismo, pois o núcleo é overline0,overline2, ou seja, f não é injetora (e, portanto, nem bijetora).