a. Dê exemplo de um automorfismo
diferente da identidade.
b. Quantos elementos tem Aut
?
b. Quantos elementos tem Aut
Passo 1
O enunciado pede dois itens: (a) dar um exemplo de automorfismo de
que não seja a identidade e (b) determinar quantos elementos tem o grupo
. O conteúdo aqui é automorfismos de grupos cíclicos e a identificação de
com o grupo dos invertíveis
. Vamos precisar usar que qualquer automorfismo de
é dado por mandar o gerador
em outro gerador.
Passo 2
Em um grupo cíclico
, todo automorfismo
é determinado pela imagem de
. Se
, então
. Para que
seja bijetivo e respeite a operação,
precisa ser gerador de
, isto é,
. Como os possíveis valores em
que satisfazem isso são
e
, temos exatamente duas possibilidades: o automorfismo identidade (com
) e outro não trivial (com
).
Passo 3
Um exemplo de automorfismo diferente da identidade é escolher
e definir
(computado em
). De fato, ele é homomorfismo pois
,
e é bijetivo porque ,
,
e
, cobrindo todos os elementos de
.
e é bijetivo porque
Passo 4
O número de automorfismos é justamente o número de geradores de
, ou seja o tamanho de
. Sabemos que
, onde
é a função totiente de Euler. Portanto há exatamente 2 automorfismos.
Resposta
a) Um exemplo é f(x)=3x (módulo 4). b) |Aut(ℤ₄)| = 2.