a. Dê exemplo de um automorfismo f: Z4 Z4 diferente da identidade.
b. Quantos elementos tem Aut ?

Passo 1

O enunciado pede dois itens: (a) dar um exemplo de automorfismo de Z4 que não seja a identidade e (b) determinar quantos elementos tem o grupo Aut(Z4). O conteúdo aqui é automorfismos de grupos cíclicos e a identificação de Aut(Zn) com o grupo dos invertíveis U(n). Vamos precisar usar que qualquer automorfismo de Z4 é dado por mandar o gerador 1 em outro gerador.

Passo 2

Em um grupo cíclico Z4, todo automorfismo f é determinado pela imagem de 1. Se f(1)=a, então f(x)=acdot x. Para que f seja bijetivo e respeite a operação, a precisa ser gerador de Z4, isto é, gcd(a,4)=1. Como os possíveis valores em 1,2,3 que satisfazem isso são a=1 e a=3, temos exatamente duas possibilidades: o automorfismo identidade (com a=1) e outro não trivial (com a=3).

Passo 3

Um exemplo de automorfismo diferente da identidade é escolher a=3 e definir f(x)=3x (computado em Z4). De fato, ele é homomorfismo pois
f(x+y)=3(x+y)=3x+3y=f(x)+f(y),
e é bijetivo porque f(1)=3, f(2)=2, f(3)=1 e f(0)=0, cobrindo todos os elementos de Z4.

Passo 4

O número de automorfismos é justamente o número de geradores de Z4, ou seja o tamanho de U(4). Sabemos que lvertU(4)rvert=varphi(4)=2, onde varphi é a função totiente de Euler. Portanto há exatamente 2 automorfismos.

Resposta

a) Um exemplo é f(x)=3x (módulo 4). b) |Aut(ℤ₄)| = 2.

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