Decida se as aplicações abaixo são automorfismos. Justifique a resposta.
dada por
, onde
é um grupo abeliano.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a aplicação
dada por
é um automorfismo, sabendo que
é um grupo abeliano. Lembrando que um automorfismo é um homomorfismo bijetivo de um grupo em si mesmo.
Passo 2
Para ver que
preserva a operação de grupo, tomamos
e calculamos:
Passo 3
Agora, para a bijetividade, note que:
– Injetividade: se então
, o que implica
.
– Sobrejetividade: dado qualquer , basta escolher
para ter
.
Como é ao mesmo tempo homomorfismo, injetiva e sobrejetiva, concluímos que é um automorfismo de
.
– Injetividade: se
– Sobrejetividade: dado qualquer
Como
Resposta
Sim,
é um automorfismo de
, pois é um homomorfismo bijetivo.