Decida se as aplicações abaixo são automorfismos. Justifique a resposta.
g: G G dada por g(x)=x^-1, onde G é um grupo abeliano.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a aplicação gcolon Gto G dada por g(x)=x^-1 é um automorfismo, sabendo que G é um grupo abeliano. Lembrando que um automorfismo é um homomorfismo bijetivo de um grupo em si mesmo.

Passo 2

Para ver que g preserva a operação de grupo, tomamos x,yin G e calculamos:
g(xy)=(xy)^-1=y^-1x^-1 Como G é abeliano, y^-1x^-1=x^-1y^-1. Portanto
g(xy)=x^-1y^-1=g(x),g(y), mostrando que g é um homomorfismo.

Passo 3

Agora, para a bijetividade, note que:
– Injetividade: se g(x)=g(y) então x^-1=y^-1, o que implica x=y.
– Sobrejetividade: dado qualquer yin G, basta escolher x=y^-1 para ter g(x)=x^-1=(y^-1)^-1=y.
Como g é ao mesmo tempo homomorfismo, injetiva e sobrejetiva, concluímos que é um automorfismo de G.

Resposta

Sim, g é um automorfismo de G, pois é um homomorfismo bijetivo.

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