Seja
. Considere
.
a. Mostre que
.
b. Mostre que
.
a. Mostre que
b. Mostre que
Passo 1
A questão define o conjunto dos n-ésimos raízes da unidade em ℂ e pede (a) mostrar que ele é subgrupo multiplicativo de ℂ* e (b) que é isomorfo ao grupo cíclico de ordem n, ℤₙ. Vamos usar a definição de subgrupo (fechamento, identidade, inverso) e depois construir um homomorfismo explícito para ℤₙ.
Passo 2
Para (a), note que a associatividade é herdada de ℂ*. O elemento identidade é 1, pois 1ⁿ=1, logo 1∈Gₙ. Se z₁ⁿ=1 e z₂ⁿ=1, então (z₁z₂)ⁿ=z₁ⁿz₂ⁿ=1·1=1, mostrando fechamento. Por fim, se zⁿ=1 então z·z^{n-1}=zⁿ=1, ou seja z{-1}=z{n-1}∈Gₙ. Portanto Gₙ é subgrupo de ℂ*.
Passo 3
Para (b), definimos a raiz primitiva de unidade $$
\zeta = e^{2\pi i / n}
$$ e observamos que \(
\zeta = e^{2\pi i / n}
$$ e observamos que \(
\zeta^n=1
\) e que todo elemento de Gₙ é da forma para algum k.
\) e que todo elemento de Gₙ é da forma
Passo 4
Construímos o mapa $$
f : \mathbb{Z}_n \to G_n, \quad f([k]) = \zeta^k.
$$ Vamos verificar que é bem-definido: se [k]=[k’] em ℤₙ, então k≡k’ (mod n), logo \(
f : \mathbb{Z}_n \to G_n, \quad f([k]) = \zeta^k.
$$ Vamos verificar que é bem-definido: se [k]=[k’] em ℤₙ, então k≡k’ (mod n), logo \(
\zetak=\zeta{k’}
\). É homomorfismo porque
\). É homomorfismo porque
Passo 5
Mostramos agora que f é bijetivo. Injetividade: se f([k])=1 então \zeta^k=1 ⇒ n|k ⇒ [k]=[0]. Sobrejetividade: dado qualquer z∈Gₙ, zⁿ=1 ⇒ z=\zeta^k para algum k entre 0 e n−1. Logo f([k])=z. Concluímos que f é isomorfismo.
Passo 6
Portanto Gₙ é um subgrupo de ℂ* e Gₙ≅ℤₙ via o isomorfismo f([k])=e^{2π i k/n}.
Resposta
Gₙ é subgrupo multiplicativo de ℂ* e é isomorfo a ℤₙ por meio de f([k])=e^{2\pi i k/n}.