Decida se as aplicações abaixo são automorfismos. Justifique a resposta.
h: S3 S3 dada por h(x)=x^-1.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a aplicação h: S3to S3 dada por h(x)=x^-1 é um automorfismo de grupo. Lembrando que um automorfismo é um homomorfismo bijetivo. Vamos precisar verificar se h preserva o produto do grupo (propriedade de homomorfismo) e se é bijetiva.

Passo 2

Para testar a propriedade de homomorfismo, calculamos h(xy) e comparamos com h(x)h(y). Temos
h(xy)=(xy)^-1=y^-1x^-1,
enquanto
h(x)h(y)=x^-1y^-1
Logo, para todo x,y em S3, precisaríamos de y^-1x^-1=x^-1y^-1, ou seja, que o grupo seja abeliano.

Passo 3

O grupo S3 não é abeliano. Por exemplo, tomemos x=(1;2) e y=(1;2;3). Então xy=(1;2)(1;2;3) e verificamos explicitamente que
h(xy)=(xy)^-1neq x^-1y^-1=h(x)h(y),
atestando que h não é homomorfismo.

Passo 4

Mesmo sabendo que a inversão em qualquer grupo é bijetiva (pois a inversa de x^-1 é x), a falha na propriedade de homomorfismo impede que h seja um automorfismo de S3.

Resposta

Não. A aplicação não é automorfismo de S3 porque não preserva o produto ( h(xy)neq h(x)h(y)), já que S3 não é abeliano.

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