Decida se as aplicações abaixo são automorfismos. Justifique a resposta.
dada por
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a aplicação
dada por
é um automorfismo de grupo. Lembrando que um automorfismo é um homomorfismo bijetivo. Vamos precisar verificar se
preserva o produto do grupo (propriedade de homomorfismo) e se é bijetiva.
Passo 2
Para testar a propriedade de homomorfismo, calculamos
e comparamos com
. Temos
enquanto
Logo, para todo
Passo 3
O grupo
não é abeliano. Por exemplo, tomemos
e
. Então
e verificamos explicitamente que
,
atestando que não é homomorfismo.
atestando que
Passo 4
Mesmo sabendo que a inversão em qualquer grupo é bijetiva (pois a inversa de
é
), a falha na propriedade de homomorfismo impede que
seja um automorfismo de
.
Resposta
Não. A aplicação não é automorfismo de
porque não preserva o produto (
), já que
não é abeliano.