Resolver as integrais
integral d xx^2(2+3 x^2)^3 / 2 usando a técnica do binômio diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral dxx^2,l(2+3x^2r)^3/2
usando a técnica do binômio diferencial, que se aplica a integrais do tipo
integral x^m,(a+bx^n)^p,dx,
quando m+1n+p ou m+1n é inteiro. Aqui temos
m=-2, n=2, a=2, b=3, p=-tfrac32,
e de fato m+1n+p=-tfrac12-tfrac32=-2inZ.

Passo 2

Para aproveitar a técnica, procuramos uma função
u = x,(2+3x^2)^r
cuja derivada produza exatamente o fator (2+3x^2)^-3/2,dx.
Como queremos ao derivar obter (2+3x^2)^r-1dx=(2+3x^2)^-3/2dx, basta escolher
r-1=-tfrac32 Longrightarrow r=-tfrac12
Portanto definimos
u = x,(2+3x^2)^-1/2

Passo 3

Calculamos du:
du = dl[x,(2+3x^2)^-1/2r] = (2+3x^2)^-1/2,dx + xcdotl(-tfrac12r)(2+3x^2)^-3/2,(6x),dx
Agrupando termos:
du = (2+3x^2)^-1/2,dx -3,x^2,(2+3x^2)^-3/2,dx = l[(2+3x^2)-3x^2r],(2+3x^2)^-3/2,dx,2,
= 22,(2+3x^2)^-3/2,dx = (2+3x^2)^-3/2,dx ;;Longrightarrow;; (2+3x^2)^-3/2,dx = du

Passo 4

Reescrevemos a integral original em termos de u. Temos
integral dxx^2(2+3x^2)^3/2 = integral x^-2,(2+3x^2)^-3/2,dx = integral x^-2,du
Para eliminar x^-2, expressamos x em função de u. Da definição de u:
u = xraiz2+3x^2 Longrightarrow u^2 = x^22+3x^2 Longrightarrow x^2(1-3u^2) = 2u^2 Longrightarrow x^2 = 2u^21-3u^2
Logo
x^-2 = 1-3u^22u^2
Substituindo em integral x^-2,du, obtemos
integral x^-2,du = integral 1-3u^22u^2,du = 12integrall(u^-2-3r),du

Passo 5

Agora integramos facilmente:
12integrall(u^-2-3r),du = 12l(integral u^-2,du - 3integral dur) = 12l(-u^-1-3ur)+C
Portanto
integral dxx^2(2+3x^2)^3/2 = -12,u^-1 ;-;32,u ;+;C

Passo 6

Retornando à variável x, lembre que
u = xraiz2+3x^2 Longrightarrow u^-1 = raiz2+3x^2x
Logo
-12,u^-1 = -12,raiz2+3x^2x, -32,u = -32,xraiz2+3x^2
Somando,
integral dxx^2(2+3x^2)^3/2 = -raiz2+3x^22x - 3x2raiz2+3x^2 + C
Podemos juntar em um só quociente:
-raiz2+3x^22x - 3x2raiz2+3x^2 = -(2+3x^2)+3x^22xraiz2+3x^2 = -1+3x^22xraiz2+3x^2

Resposta

boxed integral dxx^2(2+3x^2)^3/2 = -,1+3x^22xraiz2+3x^2+C

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