Decida em cada caso se o vetor W é uma combinação linear de U e V. Em cada item abaixo, justifique de alguma forma a sua resposta (apenas um sim ou um não não será suficiente!).
O vetor W=(5,-3) é uma combinação linear dos vetores U=(1,0) e V=(0,1) ?

Passo 1

Então, a gente tem um vetor W = (5, -3) e queremos descobrir se ele pode ser formado combinando linearmente os vetores U = (1, 0) e V = (0, 1). Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre combinações lineares de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser uma combinação linear. Basicamente, estamos procurando por números (chamados de escalares) que, quando multiplicados pelos vetores U e V e depois somados, resultem no vetor W. Ou seja, queremos encontrar a e b tais que:
aU + bV = W

Passo 3

Substituindo os vetores que temos, fica assim:
a(1, 0) + b(0, 1) = (5, -3)
Isso significa que:
(a times 1 + b times 0, a times 0 + b times 1) = (5, -3)

Passo 4

Simplificando as expressões:
(a, b) = (5, -3)
Ou seja, temos que:
a = 5 b = -3

Passo 5

Encontramos os valores de a e b que fazem a combinação linear dar exatamente o vetor W. Como conseguimos esses valores, significa que W é sim uma combinação linear de U e V.

Resposta

Sim, o vetor W = (5, -3) é uma combinação linear dos vetores U = (1, 0) e V = (0, 1), com a = 5 e b = -3.

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