Seja o subespaço W gerado pelos polinômios
p1(t)=1-2 t, p2(t)=t+t^2-t^3, p3(t)=1+t^2+2 t^3, p4(t)=3+2 t+3 t^3
Encontre uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W=spanp1,p2,p3,p4subset P3(R),
onde
p1(t)=1-2t, p2(t)=t+t^2-t^3, p3(t)=1+t^2+2t^3, p4(t)=3+2t+3t^3
Queremos encontrar uma base de W e sua dimensão. O conteúdo aqui é verificar a independência linear desses polinômios, que faremos via coordenadas no sistema canônico 1,t,t^2,t^3.

Passo 2

Escrevemos cada pi como vetor de coordenadas em R^4, na ordem (1,t,t^2,t^3):
p1long<=ftrightarrow(1,,-2,,0,,0), p2long<=ftrightarrow(0,,1,,1,,-1), p3long<=ftrightarrow(1,,0,,1,,2), p4long<=ftrightarrow(3,,2,,0,,3)

Passo 3

Formamos a matriz 4times4 cujas colunas são essas coordenadas e aplicamos eliminação de Gauss para achar o posto:
A= 1 & 0 & 1 & 3 -2& 1 & 0 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & -1& 2 & 3 ;xrightarrowelim Gaussiana; 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Como a forma escalonada final é a identidade, o posto de A é 4.

Passo 4

O fato de rank(A)=4 mostra que os quatro vetores são linearmente independentes. Logo,
p1,p2,p3,p4
é uma base de W, e
dim W = 4

Resposta

Uma base de W é ,p1,p2,p3,p4 e dim W = 4.

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