Decida em cada caso se o vetor W é uma combinação linear de U e V. Em cada item abaixo, justifique de alguma forma a sua resposta (apenas um sim ou um não não será suficiente!).
O vetor W=(9,18) é uma combinação linear dos vetores U=(3,6) e V=(1,2) ?

Passo 1

Estamos querendo saber se o vetor W = (9, 18) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores U = (3, 6) e V = (1, 2). Isso faz parte do conteúdo de Combinações Lineares em Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos verificar se existem números (escalars) a e b tais que:
W = aU + bV

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação das combinações lineares em termos das componentes dos vetores:
(9, 18) = a(3, 6) + b(1, 2)
Isso resulta em duas equações:
  1. Para a primeira componente:
3a + b = 9
  1. Para a segunda componente:
6a + 2b = 18

Passo 3

Agora, temos um sistema de equações lineares:
3a + b = 9 6a + 2b = 18
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b.

Passo 4

Podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 2:
3a + b = 9
Perceba que a segunda equação simplificada é exatamente igual à primeira:
3a + b = 9

Passo 5

Isso significa que as duas equações são dependentes, ou seja, elas representam a mesma reta no plano. Portanto, existem infinitas soluções para a e b que satisfazem a equação 3a + b = 9.
Por exemplo, se escolhermos a = 2, então:
3(2) + b = 9 6 + b = 9 b = 3
Outro exemplo, se escolhermos a = 1, então:
3(1) + b = 9 3 + b = 9 b = 6

Resposta

Sim, o vetor W = (9, 18) é uma combinação linear dos vetores U = (3, 6) e V = (1, 2), pois existem valores de a e b que satisfazem a equação W = aU + bV.

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