Decida em cada caso se o vetor é uma combinação linear de e . Em cada item abaixo, justifique de alguma forma a sua resposta (apenas um sim ou um não não será suficiente!).
O vetor é uma combinação linear dos vetores e ?
Passo 1
Estamos querendo saber se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Isso faz parte do conteúdo de Combinações Lineares em Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos verificar se existem números (escalars) e tais que:
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação das combinações lineares em termos das componentes dos vetores:
Isso resulta em duas equações:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Passo 3
Agora, temos um sistema de equações lineares:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b.
Passo 4
Podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 2:
3a + b = 9
Perceba que a segunda equação simplificada é exatamente igual à primeira:
3a + b = 9
Passo 5
Isso significa que as duas equações são dependentes, ou seja, elas representam a mesma reta no plano. Portanto, existem infinitas soluções para a e b que satisfazem a equação 3a + b = 9.
Por exemplo, se escolhermos a = 2, então:
3(2) + b = 9 6 + b = 9 b = 3
Outro exemplo, se escolhermos a = 1, então:
3(1) + b = 9 3 + b = 9 b = 6
Resposta
Sim, o vetor W = (9, 18) é uma combinação linear dos vetores U = (3, 6) e V = (1, 2), pois existem valores de a e b que satisfazem a equação W = aU + bV.