Determine, em cada caso,
e
:
e
Quais das somas anteriores são diretas?
Quais das somas anteriores são diretas?
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
:
e
.
Pede-se (i) a união , (ii) a soma
e (iii) identificar quais dessas “somas” são diretas. Usaremos as definições de união, soma de subespaços e soma direta (interseção trivial).
Pede-se (i) a união
Passo 2
Para a união tomamos todos os vetores que estão em
ou em
. Logo,
Passo 3
Para a soma definimos
Se
e
, então
Como
e
variam livremente em
, podemos renomear
e obter
Passo 4
Para verificar soma direta, calculamos a interseção:
Isto exige
e
, logo
.
Assim, é uma soma direta, denotada
. A união
não é subespaço e portanto não se qualifica para soma direta.
Assim,
Resposta
Dessas, somente
é uma soma direta, pois
.