Determine, em cada caso, V cup W e V+W:
V=(x, x, x) ; x in R e W=(0,0, z) ; z in R
Quais das somas anteriores são diretas?

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de R^3:
V=(x,x,x)colon xinR e
W=(0,0,z)colon zinR.
Pede-se (i) a união Vcup W, (ii) a soma V+W e (iii) identificar quais dessas “somas” são diretas. Usaremos as definições de união, soma de subespaços e soma direta (interseção trivial).

Passo 2

Para a união tomamos todos os vetores que estão em V ou em W. Logo,
Vcup W =(x,x,x)colon xinR;cup;(0,0,z)colon zinR

Passo 3

Para a soma definimos
V+W =v+wcolon vin V,;win W
Se v=(x,x,x) e w=(0,0,z), então
v+w=(x,x,x)+(0,0,z)=(x,x,x+z)
Como x e z variam livremente em R, podemos renomear y=x+z e obter
V+W=(x,x,y)colon x,yinR

Passo 4

Para verificar soma direta, calculamos a interseção:
Vcap W =(x,x,x)=(0,0,z)
Isto exige x=0 e z=0, logo Vcap W=(0,0,0).
Assim, V+W é uma soma direta, denotada Voplus W. A união Vcup W não é subespaço e portanto não se qualifica para soma direta.

Resposta

Vcup W =(x,x,x)colon xinR;cup;(0,0,z)colon zinR,
V+W =(x,x,y)colon x,yinR
Dessas, somente V+W é uma soma direta, pois Vcap W=(0,0,0).

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