Decida se cada conjunto G dotado da operação " *" indicada forma um grupo. Se não, indique uma entre as propriedades \left(\mathcal{G}_{1}\right),\left(\mathcal{G}_{2}\right) e \left(\mathcal{G}_{3}\right) que não é satisfeita. Verifique também quais dos grupos são abelianos.
G=\left\{x+y \sqrt{2} \in \mathbb{R}^{*}: x, y \in \mathbb{Z}\right\}, \quad a \star b=a \cdot b.

Passo 1

O enunciado pede que eu decida se o conjunto
G=\{x+y\sqrt{2}\in\mathbb{R}^* : x,y\in\mathbb{Z}\}
com a operação a\star b=a\cdot b (multiplicação real usual) é um grupo. Se não for grupo, preciso indicar qual das propriedades (\mathcal{G}_1), (\mathcal{G}_2) ou (\mathcal{G}_3) falha. Também devo verificar se, quando formar grupo, é abeliano. Informações dadas: elementos têm a forma x+y\sqrt{2} com x,y\in\mathbb{Z} e não podem ser zero (pois estão em \mathbb{R}^*); a operação é a multiplicação usual de números reais.

Passo 2

Verifico a cláusula de fechamento: tomo dois elementos genéricos de G,
a=x_1+y_1\sqrt{2},\qquad b=x_2+y_2\sqrt{2},\quad x_i,y_i\in\mathbb{Z}.
Multiplicando (produto de binômios),
a\cdot b=(x_1+y_1\sqrt{2})(x_2+y_2\sqrt{2})=x_1x_2+2y_1y_2+(x_1y_2+x_2y_1)\sqrt{2}.
Como x_1x_2+2y_1y_2\in\mathbb{Z} e x_1y_2+x_2y_1\in\mathbb{Z}, o produto tem a forma X+Y\sqrt{2} com X,Y\in\mathbb{Z}. Logo o produto está em G. Conclusão: a propriedade de fechamento (\mathcal{G}_1) (fechamento sob a operação) é satisfeita.

Passo 3

Verifico associatividade (\mathcal{G}_2): a operação \star é a multiplicação usual em \mathbb{R}. Sabemos que a multiplicação em \mathbb{R} é associativa, isto é, para quaisquer reais u,v,w vale (u\cdot v)\cdot w = u\cdot (v\cdot w). Como G\subset\mathbb{R}^* e a operação é a mesma, a associatividade se herda imediatamente. Portanto (\mathcal{G}_2) é satisfeita.

Passo 4

Verifico existência de elemento neutro: o neutro multiplicativo em \mathbb{R} é 1. Observamos que
1 = 1 + 0\sqrt{2}
tem coeficientes 1,0\in\mathbb{Z}, logo 1\in G. E, claramente, 1\cdot a=a para todo a. Assim (\mathcal{G}_1) no sentido de existência do neutro também está satisfeita (já havíamos verificado fechamento; aqui explicitamos o neutro). Portanto o elemento neutro existe em G.

Passo 5

Verifico existência de inversos (\mathcal{G}_3): seja a=x+y\sqrt{2}\in G. O inverso multiplicativo em \mathbb{R} é
a^{-1}=\frac{1}{x+y\sqrt{2}}.
Racionalizo o denominador multiplicando numerador e denominador por x-y\sqrt{2}:
a^{-1}=\frac{x-y\sqrt{2}}{x^2-2y^2}.
Portanto
a^{-1}=\frac{x}{x^2-2y^2} - \frac{y}{x^2-2y^2}\sqrt{2}.
Para que a^{-1} pertença a G (ou seja, seja da forma inteira u+v\sqrt{2} com u,v\in\mathbb{Z}) é necessário que os coeficientes \dfrac{x}{x^2-2y^2} e \dfrac{y}{x^2-2y^2} sejam inteiros. Isso só acontece quando o denominador x^2-2y^2 vale \pm 1. Em termos algébricos, apenas os elementos com norma N(x+y\sqrt{2})=x^2-2y^2=\pm1 têm inverso dentro de G. Nem todo par (x,y)\in\mathbb{Z}^2 satisfaz essa condição.
Dou um exemplo concreto que mostra a falha: o elemento 2\in G (pois 2=2+0\sqrt{2} com 2,0\in\mathbb{Z}). Seu inverso é 1/2, que não é da forma u+v\sqrt{2} com u,v\in\mathbb{Z}. Assim 2 não tem inverso em G. Conclusão: a propriedade (\mathcal{G}_3) (existência de inversos para todos os elementos) falha.

Passo 6

Resumo das verificações: fechamento e existência de neutro estão ok; associatividade satisfeita; inversos nem sempre existem. Portanto G com a operação dada não é um grupo. Quanto à comutatividade: a operação é a multiplicação usual em \mathbb{R}, que é comutativa, logo a operação é comutativa. Assim, se tivéssemos um subconjunto de G que realmente formasse um grupo (por exemplo, os elementos com x^2-2y^2=\pm1, que são as unidades de \mathbb{Z}[\sqrt{2}]), esse grupo seria abeliano. Mas o conjunto inteiro G não é grupo.

Resposta

Não é grupo; falha (\mathcal{G}_3) (nem todo elemento tem inverso em G).\nA operação é comutativa, portanto qualquer subconjunto de G que seja grupo seria abeliano.

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