Decida se cada conjunto
dotado da operação " *" indicada forma um grupo. Se não, indique uma entre as propriedades
e
que não é satisfeita. Verifique também quais dos grupos são abelianos.
.
Passo 1
O enunciado pede que eu decida se o conjunto
com a operação
(multiplicação real usual) é um grupo. Se não for grupo, preciso indicar qual das propriedades
,
ou
falha. Também devo verificar se, quando formar grupo, é abeliano. Informações dadas: elementos têm a forma
com
e não podem ser zero (pois estão em
); a operação é a multiplicação usual de números reais.
Passo 2
Verifico a cláusula de fechamento: tomo dois elementos genéricos de
,
Multiplicando (produto de binômios),
Como
e
, o produto tem a forma
com
. Logo o produto está em
. Conclusão: a propriedade de fechamento
(fechamento sob a operação) é satisfeita.
Passo 3
Verifico associatividade
: a operação
é a multiplicação usual em
. Sabemos que a multiplicação em
é associativa, isto é, para quaisquer reais
vale
. Como
e a operação é a mesma, a associatividade se herda imediatamente. Portanto
é satisfeita.
Passo 4
Verifico existência de elemento neutro: o neutro multiplicativo em
é
. Observamos que
tem coeficientes
, logo
. E, claramente,
para todo
. Assim
no sentido de existência do neutro também está satisfeita (já havíamos verificado fechamento; aqui explicitamos o neutro). Portanto o elemento neutro existe em
.
Passo 5
Verifico existência de inversos
: seja
. O inverso multiplicativo em
é
Racionalizo o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Portanto
Para que
pertença a
(ou seja, seja da forma inteira
com
) é necessário que os coeficientes
e
sejam inteiros. Isso só acontece quando o denominador
vale
. Em termos algébricos, apenas os elementos com norma
têm inverso dentro de
. Nem todo par
satisfaz essa condição.
Dou um exemplo concreto que mostra a falha: o elemento
(pois
com
). Seu inverso é
, que não é da forma
com
. Assim
não tem inverso em
. Conclusão: a propriedade
(existência de inversos para todos os elementos) falha.
Passo 6
Resumo das verificações: fechamento e existência de neutro estão ok; associatividade satisfeita; inversos nem sempre existem. Portanto
com a operação dada não é um grupo. Quanto à comutatividade: a operação é a multiplicação usual em
, que é comutativa, logo a operação é comutativa. Assim, se tivéssemos um subconjunto de
que realmente formasse um grupo (por exemplo, os elementos com
, que são as unidades de
), esse grupo seria abeliano. Mas o conjunto inteiro
não é grupo.
Resposta
Não é grupo; falha
(nem todo elemento tem inverso em
).\nA operação é comutativa, portanto qualquer subconjunto de
que seja grupo seria abeliano.