Decida se cada item abaixo é yerdadeiro ou falso. Prove ou dê contraexemplo. Sejam f1 ⊆ A × B e f2 ⊆ B × C, onde A, B e C são conjuntos numéricos.
© Se f1 é injetora e f2 é sobrejetora então f2(f1) é sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para decidirmos se a afirmação “Se é injetora e é sobrejetora, então é sobrejetora” é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de injeção e sobrejeção para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa cada termo:
  • Função injetora: Cada elemento do conjunto de partida é mapeado para um elemento distinto no conjunto de chegada. Ou seja, se , então .
  • Função sobrejetora: Cada elemento do conjunto de chegada é imagem de pelo menos um elemento do conjunto de partida. Ou seja, para todo em , existe pelo menos um em tal que .

Passo 3

Agora, queremos saber se a composição (que é uma função de para ) é sobrejetora, ou seja, se para todo em , existe um em tal que .

Passo 4

Sabemos que é sobrejetora, então para qualquer em , existe um em tal que . Mas é apenas injetora, não necessariamente sobrejetora. Isso significa que pode não cobrir todo o conjunto .

Passo 5

Se não cobre todos os elementos de , pode acontecer de não existir um em tal que , onde é aquele que mapeia para em . Portanto, mesmo sendo sobrejetora, a composição pode não atingir todos os elementos de .

Passo 6

Vamos dar um exemplo para ilustrar isso:
  • Seja , , e .
  • Defina por . Essa função é injetora.
  • Defina por e . Essa função é sobrejetora.

Passo 7

A composição então é:
Aqui, todo elemento de (que só é ) é atingido, então nesse caso específico, a composição é sobrejetora. Porém, vamos modificar um pouco o exemplo para ver que nem sempre acontece.

Passo 8

Suponha agora que , mantendo como antes:
Agora, não consegue atingir o elemento em , mesmo sendo sobrejetora? Na verdade, nesse caso específico, não é sobrejetora porque não cobre todos os elementos de . Vamos ajustar para garantir que seja sobrejetora.

Passo 9

Corrigindo o exemplo:
  • Seja , , e , .
Aqui, ainda a composição é sobrejetora. Para mostrar que a afirmação pode ser falsa, precisamos de um caso onde mesmo sendo sobrejetora, a composição não o é. Vamos tentar outro exemplo.

Passo 10

Considere:
  • , , e .
  • Defina por e . Essa função é injetora.
  • Defina por , , e . Essa função é sobrejetora porque todos os elementos de são atingidos.

Passo 11

A composição é:
Aqui, todos os elementos de são atingidos, então a composição é sobrejetora. Parece que não conseguimos um contraexemplo facilmente. Vamos ajustar novamente.

Passo 12

Vamos considerar:
  • , , e .
  • Defina por . Essa função é injetora.
  • Defina por e . Essa função é sobrejetora.
A composição é:
Agora, em não é atingido pela composição, então não é sobrejetora.

Resposta

A afirmação é falsa. Mesmo que seja injetora e seja sobrejetora, a composição nem sempre é sobrejetora. O exemplo mostrado demonstra que existe pelo menos um caso onde a composição não atinge todos os elementos de .

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