Decida se cada item abaixo é yerdadeiro ou falso. Prove ou dê contraexemplo. Sejam
e
, onde
e
são conjuntos numéricos.
© Se
é injetora e
é sobrejetora então
é sobrejetora.
© Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para decidirmos se a afirmação “Se
é injetora e
é sobrejetora, então
é sobrejetora” é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de injeção e sobrejeção para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa cada termo:
- Função injetora: Cada elemento do conjunto de partida é mapeado para um elemento distinto no conjunto de chegada. Ou seja, se
, então . - Função sobrejetora: Cada elemento do conjunto de chegada é imagem de pelo menos um elemento do conjunto de partida. Ou seja, para todo
em , existe pelo menos um em tal que .
Passo 3
Agora, queremos saber se a composição
(que é uma função de
para
) é sobrejetora, ou seja, se para todo
em
, existe um
em
tal que
.
Passo 4
Sabemos que
é sobrejetora, então para qualquer
em
, existe um
em
tal que
. Mas
é apenas injetora, não necessariamente sobrejetora. Isso significa que
pode não cobrir todo o conjunto
.
Passo 5
Se
não cobre todos os elementos de
, pode acontecer de não existir um
em
tal que
, onde
é aquele que mapeia para
em
. Portanto, mesmo
sendo sobrejetora, a composição
pode não atingir todos os elementos de
.
Passo 6
Vamos dar um exemplo para ilustrar isso:
- Seja
, , e . - Defina
por . Essa função é injetora. - Defina
por e . Essa função é sobrejetora.
Passo 7
A composição
então é:
Aqui, todo elemento de
(que só é
) é atingido, então nesse caso específico, a composição
é sobrejetora. Porém, vamos modificar um pouco o exemplo para ver que nem sempre acontece.
Passo 8
Suponha agora que
, mantendo
como antes:
Agora,
não consegue atingir o elemento
em
, mesmo sendo sobrejetora? Na verdade, nesse caso específico,
não é sobrejetora porque não cobre todos os elementos de
. Vamos ajustar para garantir que
seja sobrejetora.
Passo 9
Corrigindo o exemplo:
- Seja
, , e , .
Aqui, ainda a composição é sobrejetora. Para mostrar que a afirmação pode ser falsa, precisamos de um caso onde mesmo
sendo sobrejetora, a composição não o é. Vamos tentar outro exemplo.
Passo 10
Considere:
-
, , e . - Defina
por e . Essa função é injetora. - Defina
por , , e . Essa função é sobrejetora porque todos os elementos de são atingidos.
Passo 11
A composição
é:
Aqui, todos os elementos de
são atingidos, então a composição é sobrejetora. Parece que não conseguimos um contraexemplo facilmente. Vamos ajustar novamente.
Passo 12
Vamos considerar:
-
, , e . - Defina
por . Essa função é injetora. - Defina
por e . Essa função é sobrejetora.
A composição
é:
Agora,
em
não é atingido pela composição, então
não é sobrejetora.
Resposta
A afirmação é falsa. Mesmo que
seja injetora e
seja sobrejetora, a composição
nem sempre é sobrejetora. O exemplo mostrado demonstra que existe pelo menos um caso onde a composição não atinge todos os elementos de
.