Decida se cada item abaixo é yerdadeiro ou falso. Prove ou dê contraexemplo. Sejam f1 ⊆ A × B e f2 ⊆ B × C, onde A, B e C são conjuntos numéricos.
(b) Se f1 é sobrejetora e f2 é injetora então f2(f1) é injetora.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
  • , que é sobrejetora (ou seja, para todo , existe pelo menos um tal que ).
  • , que é injetora (ou seja, se , então ).
A questão afirma que se é sobrejetora e é injetora, então a composição também é injetora. Precisamos decidir se isso é verdadeiro ou falso e provar nossa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a composição de funções . Essa composição significa que aplicamos primeiro e depois no resultado de . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que é preciso para que seja injetora. Para que uma função seja injetora, se , então necessariamente .
Aplicando isso à nossa composição:
Se , então queremos que .

Passo 4

Sabemos que é injetora. Então, se , então . Aplicando isso à composição:
Se , então .

Passo 5

Agora, para garantir que , precisamos que seja injetora. Mas a questão nos dá que é sobrejetora, não necessariamente injetora. Isso significa que pode haver diferentes que mapeiam para o mesmo em .

Passo 6

Então, se não for injetora, podemos ter mesmo com . Nesse caso, mesmo com sendo injetora, a composição não garante que .

Passo 7

Vamos construir um contraexemplo para ilustrar isso:
  • Seja , , e .
  • Definimos como: Aqui, é sobrejetora porque todo elemento de (que só é ) é atingido.
  • Definimos como: é injetora porque não há dois elementos diferentes em que mapeiam para o mesmo em .

Passo 8

Agora, a composição será:
Aqui, temos , mas . Portanto, a composição não é injetora.

Resposta

Falso. Encontrei um contraexemplo onde é sobrejetora e é injetora, mas não é injetora.

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