Decida se cada item abaixo é yerdadeiro ou falso. Prove ou dê contraexemplo. Sejam
e
, onde
e
são conjuntos numéricos.
(b) Se
é sobrejetora e
é injetora então
é injetora.
(b) Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
-
, que é sobrejetora (ou seja, para todo , existe pelo menos um tal que ). -
, que é injetora (ou seja, se , então ).
A questão afirma que se
é sobrejetora e
é injetora, então a composição
também é injetora. Precisamos decidir se isso é verdadeiro ou falso e provar nossa resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a composição de funções
. Essa composição significa que aplicamos
primeiro e depois
no resultado de
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que é preciso para que
seja injetora. Para que uma função seja injetora, se
, então necessariamente
.
Aplicando isso à nossa composição:
Se , então queremos que
.
Se
Passo 4
Sabemos que
é injetora. Então, se
, então
. Aplicando isso à composição:
Se , então
.
Se
Passo 5
Agora, para garantir que
, precisamos que
seja injetora. Mas a questão nos dá que
é sobrejetora, não necessariamente injetora. Isso significa que pode haver diferentes
que mapeiam para o mesmo
em
.
Passo 6
Então, se
não for injetora, podemos ter
mesmo com
. Nesse caso, mesmo com
sendo injetora, a composição
não garante que
.
Passo 7
Vamos construir um contraexemplo para ilustrar isso:
- Seja
, , e . - Definimos
como: Aqui, é sobrejetora porque todo elemento de (que só é ) é atingido. - Definimos
como: é injetora porque não há dois elementos diferentes em que mapeiam para o mesmo em .
Passo 8
Agora, a composição
será:
Aqui, temos
, mas
. Portanto, a composição não é injetora.
Resposta
Falso. Encontrei um contraexemplo onde
é sobrejetora e
é injetora, mas
não é injetora.