Mostre que
é real puro se e somente se
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que um número complexo
é real puro se e somente se a sua parte conjugada
é igual a ele mesmo, ou seja,
. Aqui, vamos usar conceitos de números complexos, especialmente a definição de conjugado de um número complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número complexo. Um número complexo
pode ser escrito na forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária, e
é a unidade imaginária tal que
.
Passo 3
O conjugado de um número complexo
é denotado por
e é dado por
. Ou seja, a parte imaginária muda de sinal.
Passo 4
Agora, vamos analisar a condição
. Substituindo as expressões, temos:
Passo 5
Para que essa equação seja verdadeira, as partes reais e imaginárias devem ser iguais. Isso nos dá duas equações:
- Parte real:
(sempre verdadeira) - Parte imaginária:
Passo 6
Da segunda equação
, subtraindo
de ambos os lados, obtemos:
Passo 7
Encontramos que
, ou seja, a parte imaginária de
é zero. Isso significa que
é um número real puro, já que não possui parte imaginária.
Resposta
Portanto, mostramos que
é real puro se e somente se
.