Mostre que z é real puro se e somente se z* = z.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que um número complexo z é real puro se e somente se a sua parte conjugada é igual a ele mesmo, ou seja, . Aqui, vamos usar conceitos de números complexos, especialmente a definição de conjugado de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número complexo. Um número complexo z pode ser escrito na forma , onde a é a parte real e b é a parte imaginária, e i é a unidade imaginária tal que .

Passo 3

O conjugado de um número complexo é denotado por e é dado por . Ou seja, a parte imaginária muda de sinal.

Passo 4

Agora, vamos analisar a condição . Substituindo as expressões, temos:

Passo 5

Para que essa equação seja verdadeira, as partes reais e imaginárias devem ser iguais. Isso nos dá duas equações:
  1. Parte real: (sempre verdadeira)
  2. Parte imaginária:

Passo 6

Da segunda equação , subtraindo b de ambos os lados, obtemos:

Passo 7

Encontramos que , ou seja, a parte imaginária de z é zero. Isso significa que z é um número real puro, já que não possui parte imaginária.

Resposta

Portanto, mostramos que z é real puro se e somente se .

Exercícios relacionados