Decida se cada item a seguir é verdadeiro ou falso. Para os casos verdadeiros apresente uma justificativa e para os casos falsos algum contra-exemplo.
( ) Sejam W_{1} e W_{2} subespaços vetoriais de V. Então W_{1} \cup W_{2} é, também, um subespaço vetorial de V.
( ) Sejam W_{1} e W_{2} subespaços vetoriais de V, de forma que W_{1} \subset W_{2}. Então, W_{1} \cup W_{2} é um subespaço vetorial de V.
( ) Sejam W_{1} e W_{2} subespaços vetoriais de V. Então, W_{1} \cap W_{2} é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado pede para decidirmos se as operações de união e interseção de subespaços vetoriais resultam ou não em subespaços. O conteúdo é teoria de subespaços em espaços vetoriais, e vamos usar (i) contra-exemplo para mostrar que a união nem sempre é subespaço, (ii) fecho em soma e escalar para mostrar que, quando um está contido no outro, a união coincide com o maior, e (iii) fechamento em soma e escalar para mostrar que a interseção de subespaços é sempre subespaço.

Passo 2

Item 1: “Sejam W_{1} e W_{2} subespaços vetoriais de V. Então W_{1} \cup W_{2} é, também, um subespaço vetorial de V.”
Contra-exemplo em V=\mathbb{R}^{2}:
W_{1}=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\},\quad W_{2}=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}.
Ambos são subespaços. Porém (1,0)\in W_{1} e (0,1)\in W_{2}, então
(1,0)+(0,1)=(1,1)\notin W_{1}\cup W_{2},
logo a união não é fechada sob soma e não é subespaço. Portanto o item é falso.

Passo 3

Item 2: “Sejam W_{1} e W_{2} subespaços vetoriais de V, de forma que W_{1}\subset W_{2}. Então, W_{1}\cup W_{2} é um subespaço vetorial de V.”
Como W_{1}\subset W_{2}, tem-se
W_{1}\cup W_{2}=W_{2}.
E W_{2} é subespaço por hipótese. Logo a união é subespaço. Portanto o item é verdadeiro.

Passo 4

Item 3: “Sejam W_{1} e W_{2} subespaços vetoriais de V. Então, W_{1}\cap W_{2} é um subespaço vetorial de V.”
Para provar que W_{1}\cap W_{2} é subespaço, verificamos:
  1. O vetor zero de V está em ambos W_{1} e W_{2}, logo em W_{1}\cap W_{2}.
  2. Se u,v\in W_{1}\cap W_{2}, então u,v estão em W_{1} (logo u+v\in W_{1}) e em W_{2} (logo u+v\in W_{2}), de onde u+v\in W_{1}\cap W_{2}.
  3. Se u\in W_{1}\cap W_{2} e \alpha\in\mathbb{K}, então \alpha u\in W_{1} e \alpha u\in W_{2}, logo \alpha u\in W_{1}\cap W_{2}.
    Portanto W_{1}\cap W_{2} satisfaz todas as condições de subespaço e o item é verdadeiro.

Resposta

(F) A união de dois subespaços não é subespaço em geral. Exemplo: em \mathbb{R}^2, as retas horizontais e verticais não fecham sob soma.
(V) Se W_{1}\subset W_{2}, então W_{1}\cup W_{2}=W_{2}, que é subespaço.
(V) A interseção de quaisquer subespaços é subespaço, pois fecha sob soma e multiplicação escalar.

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