Decida se cada item a seguir é verdadeiro ou falso. Para os casos verdadeiros apresente uma justificativa e para os casos falsos algum contra-exemplo.
( ) Sejam
e
subespaços vetoriais de
. Então
é, também, um subespaço vetorial de
.
( ) Sejam
e
subespaços vetoriais de
, de forma que
. Então,
é um subespaço vetorial de
.
( ) Sejam
e
subespaços vetoriais de
. Então,
é um subespaço vetorial de
.
( ) Sejam
( ) Sejam
( ) Sejam
Passo 1
O enunciado pede para decidirmos se as operações de união e interseção de subespaços vetoriais resultam ou não em subespaços. O conteúdo é teoria de subespaços em espaços vetoriais, e vamos usar (i) contra-exemplo para mostrar que a união nem sempre é subespaço, (ii) fecho em soma e escalar para mostrar que, quando um está contido no outro, a união coincide com o maior, e (iii) fechamento em soma e escalar para mostrar que a interseção de subespaços é sempre subespaço.
Passo 2
Item 1: “Sejam
e
subespaços vetoriais de
. Então
é, também, um subespaço vetorial de
.”
Contra-exemplo em :
Contra-exemplo em
Ambos são subespaços. Porém
e
, então
logo a união não é fechada sob soma e não é subespaço. Portanto o item é falso.
Passo 3
Item 2: “Sejam
e
subespaços vetoriais de
, de forma que
. Então,
é um subespaço vetorial de
.”
Como , tem-se
Como
E
é subespaço por hipótese. Logo a união é subespaço. Portanto o item é verdadeiro.
Passo 4
Item 3: “Sejam
e
subespaços vetoriais de
. Então,
é um subespaço vetorial de
.”
Para provar que é subespaço, verificamos:
Para provar que
- O vetor zero de
está em ambos e , logo em . - Se
, então estão em (logo ) e em (logo ), de onde . - Se
e , então e , logo .
Portantosatisfaz todas as condições de subespaço e o item é verdadeiro.
Resposta
(F) A união de dois subespaços não é subespaço em geral. Exemplo: em
, as retas horizontais e verticais não fecham sob soma.
(V) Se , então
, que é subespaço.
(V) A interseção de quaisquer subespaços é subespaço, pois fecha sob soma e multiplicação escalar.
(V) Se
(V) A interseção de quaisquer subespaços é subespaço, pois fecha sob soma e multiplicação escalar.