Sejam V=\mathbb{M}_{3 \times 3}(\mathbb{R}) e W=\left\{A \in \mathbb{M}_{3 \times 3} \mid A\right. é invertível \}. Mostre que W não é subespaço vetorial de V.
Passo 1
O enunciado define
V = \mathbb{M}_{3\times3}(\mathbb{R}) e
W = \{A\in\mathbb{M}_{3\times3}(\mathbb{R})\mid A é invertível}.
Queremos mostrar que W não é subespaço de V. Para isso, lembramos que um subespaço de V deve satisfazer, entre outras, as seguintes condições:
pertence a W. Como \det(O)=0, a matriz nula não é invertível. Portanto O\notin W.
Passo 3
Visto que um subespaço deve conter o vetor zero e O\notin W, concluímos imediatamente que W não satisfaz a condição de conter o zero de V e, por isso, não pode ser subespaço.
Passo 4
Opcionalmente, observa-se também que W não é fechado sob adição: por exemplo, \,I\in W e -I\in W mas
I + (-I) = O \notin W.
Isso reforça que W falha na condição de fechamento sob soma.