Sejam V=\mathbb{M}_{3 \times 3}(\mathbb{R}) e W=\left\{A \in \mathbb{M}_{3 \times 3} \mid A\right. é invertível \}. Mostre que W não é subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado define
V = \mathbb{M}_{3\times3}(\mathbb{R}) e
W = \{A\in\mathbb{M}_{3\times3}(\mathbb{R})\mid A é invertível}.
Queremos mostrar que W não é subespaço de V. Para isso, lembramos que um subespaço de V deve satisfazer, entre outras, as seguintes condições:
  1. conter o vetor zero de V;
  2. ser fechado sob soma;
  3. ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a matriz zero
O = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
pertence a W. Como \det(O)=0, a matriz nula não é invertível. Portanto O\notin W.

Passo 3

Visto que um subespaço deve conter o vetor zero e O\notin W, concluímos imediatamente que W não satisfaz a condição de conter o zero de V e, por isso, não pode ser subespaço.

Passo 4

Opcionalmente, observa-se também que W não é fechado sob adição: por exemplo, \,I\in W e -I\in W mas
I + (-I) = O \notin W.
Isso reforça que W falha na condição de fechamento sob soma.

Resposta

W não é um subespaço vetorial de V.

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