Sejam
e
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
, enquanto que
não é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
(polinômios de grau até 2) e dois subconjuntos:
Para mostrar que
é subespaço, usamos o critério de subespaço: (i) conter o vetor zero, (ii) fechado sob soma e (iii) fechado sob multiplicação escalar. Para
, basta encontrar uma das condições que falha.
Passo 2
Verificamos que o polinômio zero
satisfaz
logo
. Isso garante que
não é vazio e contém o vetor zero.
Passo 3
Sejam
e
em
. Então
Para o polinômio soma
temos coeficientes
, e
Logo
, mostrando fechamento sob adição.
Passo 4
Para
e
, o polinômio
tem coeficientes
e
Portanto
, confirmando fechamento sob multiplicação escalar. Assim
é subespaço de
.
Passo 5
O conjunto
exige
. O polinômio zero tem
, logo
. Como todo subespaço deve conter o vetor zero, concluímos que
não é subespaço de
.