Sejam V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}), W_{1}=\left\{p(t)=a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2} \in \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) \mid 2 a_{0}-a_{1}+3 a_{2}=0\right\} e W_{2}=\left\{p(t)=a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2} \in \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) \mid a_{2} \neq 0\right\}. Mostre que W_{1} é um subespaço vetorial de V, enquanto que W_{2} não é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) (polinômios de grau até 2) e dois subconjuntos:
W_{1}=\bigl\{p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}\in V \mid 2a_{0}-a_{1}+3a_{2}=0\bigr\},
W_{2}=\bigl\{p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}\in V \mid a_{2}\neq 0\bigr\}.
Para mostrar que W_{1} é subespaço, usamos o critério de subespaço: (i) conter o vetor zero, (ii) fechado sob soma e (iii) fechado sob multiplicação escalar. Para W_{2}, basta encontrar uma das condições que falha.

Passo 2

Verificamos que o polinômio zero 0(t)=0+0\cdot t+0\cdot t^{2} satisfaz
2\cdot 0 - 0 + 3\cdot 0 = 0,
logo 0(t)\in W_{1}. Isso garante que W_{1} não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Sejam p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2} e q(t)=b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2} em W_{1}. Então
2a_{0}-a_{1}+3a_{2}=0 \quad\text{e}\quad 2b_{0}-b_{1}+3b_{2}=0.
Para o polinômio soma p+q temos coeficientes a_{i}+b_{i}, e
2(a_{0}+b_{0}) - (a_{1}+b_{1}) + 3(a_{2}+b_{2}) = (2a_{0}-a_{1}+3a_{2}) + (2b_{0}-b_{1}+3b_{2}) = 0 + 0 = 0.
Logo p+q\in W_{1}, mostrando fechamento sob adição.

Passo 4

Para \lambda\in \mathbb{R} e p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}\in W_{1}, o polinômio \lambda p tem coeficientes \lambda a_{i} e
2(\lambda a_{0}) - (\lambda a_{1}) + 3(\lambda a_{2}) = \lambda\,(2a_{0}-a_{1}+3a_{2}) = \lambda\cdot 0 = 0.
Portanto \lambda p\in W_{1}, confirmando fechamento sob multiplicação escalar. Assim W_{1} é subespaço de V.

Passo 5

O conjunto W_{2} exige a_{2}\neq 0. O polinômio zero tem a_{2}=0, logo 0(t)\notin W_{2}. Como todo subespaço deve conter o vetor zero, concluímos que W_{2} não é subespaço de V.

Resposta

W_{1} é subespaço vetorial de V e W_{2} não é subespaço vetorial de V.

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