Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Estamos analisando a sequência
. Esse é um problema de limite de sequência do tipo razão de polinômios com um termo oscilante. Para resolver, vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador pela maior potência de
e aplicar propriedades de limite.
Passo 2
Para calcular o limite, dividimos numerador e denominador por
:
[
\frac{2n + \sin n}{5n + 1}
= \frac{2 + \frac{\sin n}{n}}{5 + \frac{1}{n}}
]
\frac{2n + \sin n}{5n + 1}
= \frac{2 + \frac{\sin n}{n}}{5 + \frac{1}{n}}
]
Como
está sempre entre
e
, temos
quando
, e também
. Logo, aplicando o limite temos:
[
\lim_{n\to\infty} a_n
= \frac{2 + 0}{5 + 0}
= \frac{2}{5}
]
Isso mostra que a sequência converge.
\lim_{n\to\infty} a_n
= \frac{2 + 0}{5 + 0}
= \frac{2}{5}
]
Isso mostra que a sequência converge.
Passo 3
Resposta
A sequência é convergente e
.