Mostre que se três pontos distintos
e
estão alinhados (sobre a mesma reta) e se
, então
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se três pontos distintos
,
e
estão alinhados e
, então necessariamente
é diferente de
e de
e que os três quocientes
são iguais. O conteúdo é geometria analítica: condição de colinearidade via coeficiente angular.
Passo 2
Já que os pontos estão alinhados e
, a reta não é vertical. Logo, ela tem equação da forma
. Definimos o coeficiente angular usando os pontos 1 e 2:
Passo 3
Como
pertence à reta,
$$y_{1}=m,x_{1}+b\quad\Longrightarrow\quad b=y_{1}-m,x_{1}.
tag*{}$$
Passo 4
Para o ponto
alinhar-se também, deve valer
Passo 5
Substituindo
:
Passo 6
Como
é distinto de
, no lado direito
, ou seja,
. De modo análogo, usando o ponto 2, mostra-se
.
Assim podemos isolar de cada par de pontos:
Assim podemos isolar
Resposta
Mostrou-se que
e que