Mostre que se três pontos distintos x1 neq x2 e x1 neq x3 neq x2 estão alinhados (sobre a mesma reta) e se y1-y2x1-x2=y1-y3x1-x3=y2-y3x2-x3, então e .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se três pontos distintos (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) estão alinhados e x1neq x2, então necessariamente x3 é diferente de x1 e de x2 e que os três quocientes yi-yjxi-xj são iguais. O conteúdo é geometria analítica: condição de colinearidade via coeficiente angular.

Passo 2

Já que os pontos estão alinhados e x1neq x2, a reta não é vertical. Logo, ela tem equação da forma y=mx+b. Definimos o coeficiente angular usando os pontos 1 e 2:
m=y1-y2x1-x2

Passo 3

Como (x1,y1) pertence à reta,
$$y_{1}=m,x_{1}+b\quad\Longrightarrow\quad b=y_{1}-m,x_{1}.
tag*{}$$

Passo 4

Para o ponto (x3,y3) alinhar-se também, deve valer
y3=m,x3+b

Passo 5

Substituindo b:
y3=m,x3+(y1-m,x1)Longrightarrow y3-y1=m,(x3-x1)

Passo 6

Como (x3,y3) é distinto de (x1,y1), no lado direito x3-x1neq0, ou seja, x3neq x1. De modo análogo, usando o ponto 2, mostra-se x3neq x2.
Assim podemos isolar m de cada par de pontos:
m=y1-y2x1-x2=y1-y3x1-x3=y2-y3x2-x3

Resposta

Mostrou-se que x1neq x3neq x2 e que
y1-y2x1-x2=y1-y3x1-x3=y2-y3x2-x3

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