Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
an=(n+1)^nn^n+1

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência an = (n+1)^nn^n+1 converge ou diverge, calculando o limite no caso convergente. Esse é um problema de limite de sequência e vamos precisar usar o fato conhecido limntoinfty(1+1/n)^n = e.

Passo 2

Para simplificar an, note que n^n+1 = n^n cdot n. Assim, reescrevemos:
an = (n+1)^nn^n cdot n = 1n l(n+1nr)^n = 1n l(1+1nr)^n

Passo 3

Sabemos por definição do número e que
limntoinfty l(1+1nr)^n = e

Passo 4

Agora calculamos o limite de an:
limntoinfty an = limntoinfty1n l(1+1nr)^n = l(limntoinfty1nr) cdot l(limntoinfty(1+1n)^nr) = 0 cdot e = 0
Como o limite existe e é finito, concluímos que a sequência converge.

Passo 5

Portanto, an é convergente e seu limite é 0.

Resposta

A sequência é convergente e limntoinftyan = 0.

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