Seja
o cilindro
e
a fronteira de
. Mostre que
onde
รฉ a normal unitรกria que aponta para fora de
e
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos o cilindro B = { (x,y,z) ∈ ℝ³ | x²+y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 } com fronteira σ e o campo F(x,y,z) = (xy, −1, z²). Queremos mostrar que ∬_σ ⟨F,n⟩ dS = ∭_B div F dV, ou seja, validar o Teorema da Divergência de Gauss neste caso.
Passo 2
Cálculo da divergência: Aplicando as derivadas parciais, obtemos
Passo 3
Cálculo do integral de volume: Em coordenadas cilíndricas (x = r cosθ, y = r sinθ), temos y = r sinθ e dV = r dr dθ dz. Então
Separamos em duas partes:
– Primeiro termo: ∫₀¹∫₀^{2π}∫₀¹ r² sinθ dr dθ dz = 0, pois ∫₀^{2π} sinθ dθ = 0.
– Segundo termo: 2 ∫₀¹∫₀^{2π}∫₀¹ z r dr dθ dz = 2·(2π)·\bigl(∫₀¹ r dr\bigr)·\bigl(∫₀¹ z dz\bigr) = 2·2π·\tfrac12·\tfrac12 = π.
– Primeiro termo: ∫₀¹∫₀^{2π}∫₀¹ r² sinθ dr dθ dz = 0, pois ∫₀^{2π} sinθ dθ = 0.
– Segundo termo: 2 ∫₀¹∫₀^{2π}∫₀¹ z r dr dθ dz = 2·(2π)·\bigl(∫₀¹ r dr\bigr)·\bigl(∫₀¹ z dz\bigr) = 2·2π·\tfrac12·\tfrac12 = π.
Passo 4
Cálculo do integral de superfície: A fronteira σ tem três partes:
- Superfície lateral S₁: x²+y²=1, 0≤z≤1, com n = (x,y,0). Então ⟨F,n⟩ = x·(xy) + y·(−1) = x²y − y = y(x²−1). Parametrizando por θ,z, a integral em θ de sinθ(cos²θ−1) zera, logo ∫_{S₁}⟨F,n⟩dS = 0.
- Topo S₂: z=1, disco unitário, n = (0,0,1). Então ⟨F,n⟩ = z²|{z=1} = 1 e ∫{S₂}1 dS = área do disco = π.
- Base S₃: z=0, n = (0,0,−1). Aqui ⟨F,n⟩ = −z²|{z=0} = 0, logo ∫{S₃}⟨F,n⟩dS = 0.
Somando dá π.
Passo 5
Conclusão: Tanto o integral de volume ∭_B div F dV quanto o integral de superfície ∬_σ⟨F,n⟩dS valem π, confirmando que
Resposta
π